【正文】 中分離出來的，因為和行列式對應(yīng)的方陣本身就可以做許多的研究和運用，隨著對行列式研究的深入，矩陣的許多知識點也日漸完善?，F(xiàn)在對于我們來說非常熟悉的矩陣和行列式，它們的概念是非常的不一樣的。天津科技大學2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計矩陣函數(shù)以及應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計1 緒論 矩陣（Matrix）的發(fā)展與歷史人們對矩陣（Matrix）的研究歷史非常悠久，在很久以前就已經(jīng)有人研究過了幻方和拉丁方陣。在這種情況下，矩陣應(yīng)運而生。在數(shù)學發(fā)展的歷史長河中矩陣理論的創(chuàng)立者被一致認為是英國數(shù)學家凱萊（Cayley），是他最先將矩陣作為一個單獨的數(shù)學上的概念提出來，并且關(guān)于矩陣的很多學術(shù)論文和著作都是他最早發(fā)表的。在19世紀50年代，約丹經(jīng)過潛心研究首先發(fā)表了把一般矩陣化為標準型矩陣的方法。矩陣在很多方面都有重要應(yīng)用，例如數(shù)學領(lǐng)域里，力學、物理學、工程數(shù)學、經(jīng)濟管理方面都有矩陣的出現(xiàn)?？梢愿鶕?jù)計算過程中遇到的實際情形加以選擇，將會給計算帶來很大方便。級數(shù) 級數(shù)知識是分析科學中一個重要的部分；這個概念經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學的其他分支。冪級數(shù)與多項式形式非常接近，在許多方面有相似的特征，可以被視為“無限的多項式”。線性算子 線性算子，有數(shù)學運算各領(lǐng)域的線性性質(zhì)（如線性變換，線性代數(shù)理論的微分方程，積分方程理論，微分，積分，積分變換）的抽象概括。下面通過數(shù)學式子將其表示出來。對角線上的元素可以是0或任何其他值。證 由為實函數(shù)，A是實對稱矩陣，根據(jù)性質(zhì)8知，是實對稱矩陣，又因為的特征值為，其中是A的特征值，所以是正定矩陣。矩陣指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)：(1)若，則。矩陣函數(shù)的計算方法雖然多種多樣，但是想通過定義求解矩陣函數(shù)的過程很困難。根據(jù)線性代數(shù)的知識體系，任何一個方陣的伴隨矩陣其實是一個和矩陣逆矩陣相似的概念。對于非空集合R，如果定義了兩種代數(shù)運算+和*（不一定就是代數(shù)中加法與乘法的含義），并且滿足下面的條件：1）集合R在運算+下能組成阿貝爾群（Abel）。為了告訴概念清晰的對角化矩陣，首先簡要說明相似矩陣的概念。如果是能將映射到的一個線性變換，并且是有個元素的列向量 ，那么我們就可以將mn的矩陣，叫作的變換矩陣。則(2矩陣函數(shù)為矩陣多項式因為是幾個矩陣指數(shù)函數(shù)的線性組合，它仍然可以作為（1）中的計算方法。初等因子，不變因子的概念見引用文獻[10]中的定義3，定義4，這里不再介紹。三個方面的初等變換大同小異。第一，第三和第四種方法中使用的數(shù)學原理和方法比較多，明顯地比第二種方法計算量少，它們的計算過程相對簡單，但要明白為什么要這么做，還需要清楚地理解里面運用的一些定理和方法。因此，現(xiàn)代控制理論中的矩陣理論和矩陣函數(shù)的知識具有重要作用。在20世紀60年代左右，關(guān)于線性系統(tǒng)的理論經(jīng)歷了從最開始的古典階段到現(xiàn)代階段的重要時期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進了狀態(tài)空間的方法。就在此時，由于計算機技術(shù)的飛速發(fā)展和完善，對于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現(xiàn)的的計算難題，以及使用計算機對線性的體系進行輔助性的剖析和輔助性的設(shè)計，也都得到了廣泛和充分的研究。(2)如果在[，]內(nèi)，能找到控制使系統(tǒng)從狀態(tài)空間原點推向預(yù)先指定的狀態(tài)，則稱為狀態(tài)能達性；因為任何連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形成的都是非奇異的矩陣，所以能說某種程度上系統(tǒng)能達性就是系統(tǒng)的能控性。那么線性定常系統(tǒng)就變?yōu)椋?）若系統(tǒng)存在確定性干擾信號，即因為與、獨立，因此在系統(tǒng)的可觀測性研究是不考慮的影響?？煽匦跃仃嘠k=[B AB A2B … An1B]滿秩。利用傳遞函數(shù)來判斷。系統(tǒng)的律的微分方程是對應(yīng)的。在許多情況下，一個實變量函數(shù)在實數(shù)域中運算難度很大，但是對于一個拉普拉斯實變函數(shù)的變換，它能在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)進行各種各樣的數(shù)學操作，最后對前面求得的計算結(jié)果作一次拉氏反變換，就能最終求出它在實數(shù)領(lǐng)域的結(jié)果，這種方法在運算上和直接求解相比，方便很多。對于復(fù)參數(shù)，函數(shù)于（∞，+∞）的積分，稱為函數(shù)的（雙邊）拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。滿秩。當方陣是能對角化的矩陣時，這時約當陣就是對角化矩陣。頻域是坐標系的一種，它是表示信號頻率方面的特征。狀態(tài)向量是維的一個列向量，輸入向量是維的，輸出向量是維的。使用用反證的方法證明。這與矩陣的秩為相矛盾，就證明了系統(tǒng)是完全能控的。 必要性：如果系統(tǒng)是完全可觀測的，我們用反證法證明是非奇異的。矩陣函數(shù)在數(shù)值方法的研究、其余的數(shù)學分支和工程的課題上都有很大的作用，像探索剛體的旋轉(zhuǎn)表達方法時，就需要使用矩陣的指數(shù)函數(shù)；在處理圖像、識別模式、通信等其他領(lǐng)域，也經(jīng)常使用矩陣函數(shù)?，F(xiàn)在人們使用各種各樣的數(shù)學軟件，其中人們普遍認為Matlab是功能最強大的數(shù)學軟件。Matlab不僅能夠進行矩陣的各種計算，還有有繪圖和數(shù)值處理等功能，它將理論上的算法用于解決實際問題，例如創(chuàng)建用戶界面、連接程序等等，但它是通過使用其他的編程語言，主要用于工程設(shè)計，現(xiàn)場控制計算，信號處理，圖像處理和通信，檢查信號異常，所有的社會判斷中最具有前景的分析世界金融形式等。Matlab對數(shù)據(jù)和圖形處理的方法非常方便。矩陣計算，線性方程組的主要問題，常微分方程和偏微分方程，數(shù)學符號，傅立葉變換，數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，工程優(yōu)化問題，計算稀疏矩陣，計算復(fù)雜，三角函數(shù)的計算，其他基本的數(shù)學計算，計算多維的各種數(shù)學和工程陣列仿真圖像建模都可以用到。Matlab有許多在實踐中能發(fā)揮巨大作用的模塊箱和工具集。[15],’yanchuk .System Embedding. Linear Control with Observation[J] .Automation and Remote Control March2001,Volume 62, Issue 3, pp 356369；[16]Brand,Louis Applications of the Companion Matrix .American Mathematical Monthly[J] . March1968，Volume75, Issue2, 146152。具體的代碼見后面的附錄。這些都可用于工程計算和科學繪圖。在遇到對結(jié)果的要求不是很高時，使用Matlab的優(yōu)勢更加明顯。不同的版本都有當時最流行的編程技術(shù)。所有使用過Matlab的人都非常清楚它的最基本的計算功能很強大，但不僅如此。由于軟件的廣泛使用，傳統(tǒng)學科也隨之改變。矩陣叫做能觀測性矩陣。 定義4－7 對于一個線性定常系統(tǒng)，若在有限時間區(qū)間內(nèi)，能通過觀測系統(tǒng)的輸出而唯一地確定任意初始狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是完全能觀測的，或者說對每一狀態(tài)是能觀測的。 定理4－14 系統(tǒng)完全能控的充要條件是矩陣 的秩為。 證明 充分性。方面2：身高，是高是矮。如果單輸入單輸出系統(tǒng)C（SIA）1B也沒有零極點相消，那么系統(tǒng)既是可控的也是可觀測的。記為：Pm+1，Pm+2，等等。了解了傳遞函數(shù)的概念后，就能夠已知輸入量求得到輸出量，也可以根據(jù)輸出量的要求得出輸入量。其特點是直觀和簡單的圖形方法來確定控制系統(tǒng)，運行過程控制系統(tǒng)的分析，為控制體系進行調(diào)試提供了可能。它不僅是最開始出現(xiàn)的控制的基本理論，而且在以單變量的頻域法為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論的成長進程中，它一直不斷完善才有了現(xiàn)在的多變量的頻域控制理論，為多變量控制系統(tǒng)研究的有力工具。傳遞函數(shù)（transfer function）是將兩個拉氏變換作除法。滿秩矩陣（nonsingular matrix）:設(shè)是n階矩陣, 如果,稱為滿秩矩陣。可觀測性是系統(tǒng)輸入與輸出的充分反映系統(tǒng)問題的狀態(tài)。(4)當系統(tǒng)有不依附于的確定性干擾時，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為因為是一個確定性的干擾，它不會改變系統(tǒng)的可控性?？煽刂菩悦枋龅氖菭顟B(tài)的控制力，可觀測性描述的是狀態(tài)的觀測力，這兩條性質(zhì)給出了兩個最基本的控制系統(tǒng)存在的問題。在前面介紹的可控制性和可觀測性，對于線性系統(tǒng)的進一步研究和整合在根本的指導(dǎo)規(guī)則方面都產(chǎn)生了重大影響。通過矩陣函數(shù)定義的解決線性控制中的問題是使用鑲嵌技術(shù)獲得期望矩陣的傳遞函數(shù)。本文在這里簡單介紹矩陣函數(shù)的一些實際應(yīng)用，主要以在現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用為例進行闡述。如果把前面定義中的“行”換成“列”，得到的就是矩陣的初等列變換的定義。例 設(shè)矩陣,求解 由于特征多項式，易算出不是A的零化多項式，故A的最小多項式為，于是設(shè)為2次多項式，即，由于，且是單根，是二重根，故有 即 解得 從而得 四種方法的比較為了將問題說明清楚，這里將幾個基本概念回顧一下。 利用待定系數(shù)法求矩陣函數(shù)（化零多項式法）從上面的介紹可以知道求矩陣函數(shù)通過求矩陣Jordan標準形式的方法是非常復(fù)雜的，它要求Jordan標準形式及變換矩陣，這個過程很繁瑣。當然矩陣中還有些比較特殊的矩陣，因為他們的特殊性可以將計算簡化?？赡婢仃囀蔷€性代數(shù)中經(jīng)常用到的一種矩陣，它在線性代數(shù)中的定義為給定一個階的方陣，如果存在一個階方陣，使得（或、 任意滿足一個），其中為 階單位矩陣，則稱是可逆的，且 是 的逆陣，記作。我們清楚，中的元素能進行加或者減或者乘三種計算，所以它可以類似地定義矩陣的加法和乘法，和數(shù)字矩陣運算的算法規(guī)則相同。即，就叫做元的代數(shù)余子式）注意：前面求得的是一個具體的數(shù)而不是一個矩陣。在前一章中通過利用收斂矩陣冪級數(shù)的和定義了矩陣函數(shù),在具體應(yīng)用中，需要求出所代表的具體矩陣，即求出矩陣函數(shù)的具體值。在實際中，經(jīng)常需要求含參數(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)。經(jīng)常使用的矩陣函數(shù)有矩陣的指數(shù)函數(shù)和矩陣的三角函數(shù)。矩陣函數(shù)的定義方式有很多種，為了便于進一步的研究，