【正文】 （02），118120；[11][M].北京：；[12]許立煒，[M]. 北京：科學(xué)出版社，2006；[13]張李盈,步海林,、相似與合同[J].陜西教育(高教版).2008(04),104。像圖形的光照處置、處理色度、表現(xiàn)四維數(shù)據(jù)，Matlab更是顯示出了非凡的能力。Matlab中含有許多函數(shù)集，既有我們都很熟悉的最基本的函數(shù)，也有很多難以理解的像快速傅里葉變換等復(fù)雜函數(shù)。Matlab的使用群如此之大，原因非常多，可以歸結(jié)為以下幾點(diǎn)：（1)有效、精確的處理數(shù)據(jù)和圖形中符號(hào)處理等功能，使用戶不再需要進(jìn)行復(fù)雜冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)分析中的計(jì)算，并且它在數(shù)學(xué)分析中的方法及其晦澀難懂；（2）具有完善的處理圖形的功能，使計(jì)算和編程的結(jié)果形象地呈現(xiàn)出來(lái)，非常直觀；（3） 完備的用戶界面及用自然化語(yǔ)言表示的數(shù)學(xué)表達(dá)式，讓使用者很容易接受；（4）還有許多其他實(shí)用功能。在數(shù)值分析，矩陣運(yùn)算，科學(xué)數(shù)據(jù)可視化和非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真建模，和許多其他強(qiáng)大的功能都集成在一個(gè)易于使用的環(huán)境下，這就是Matlab的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)軟件的產(chǎn)生使數(shù)學(xué)這門(mén)古老的學(xué)科更好地發(fā)揮了其應(yīng)有的作用。 解 它的能觀測(cè)性矩陣為 明顯它的秩是2，所以是可觀測(cè)系統(tǒng)。 證明 充分性： 令 于是得 4－20以左乘上式兩邊，并從0到進(jìn)行積分，可得 ，即 若為非奇異矩陣，則 ，即可以唯一確定。 證明 充分性。 4－17令 ， 4－18把代入式4－17得 這說(shuō)明在式4－18所示的控制輸入作用下，能使系統(tǒng)從轉(zhuǎn)移到。如信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律（時(shí)域特性），信號(hào)是由哪些單一頻率的信號(hào)合成的（頻域特性）。但是具體是哪種可能性則不能確定。約當(dāng)陣最明顯的特征是方陣的對(duì)角線上所有元素都是矩陣的特征值，對(duì)角線上側(cè)還有許多1。能觀測(cè)性考察的是系統(tǒng)的輸出量對(duì)狀態(tài)量的觀察能力。這就是時(shí)間函數(shù)用“復(fù)頻域”表示的方法。拉氏變換在工程中經(jīng)常被應(yīng)用。寫(xiě)作，前面的、分別代表輸出量與輸入量的拉氏變換。利用對(duì)角約當(dāng)規(guī)范型來(lái)判斷。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)可控性探討的是控制系統(tǒng)的輸入量對(duì)狀態(tài)量的作用。對(duì)于能觀測(cè)性的定義，說(shuō)明幾點(diǎn)：(1)已知系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間[，]內(nèi)的輸出，觀測(cè)的目標(biāo)是為了確定初始狀態(tài).(2)系統(tǒng)對(duì)于在[，]內(nèi)的輸出能唯一地確定任意指定的狀態(tài),表示系統(tǒng)狀態(tài)可以被檢測(cè)到；因?yàn)檫B續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，所以系統(tǒng)能檢測(cè)性與能觀測(cè)性是等價(jià)的。能控性定義：一般地，對(duì)于線性定常系統(tǒng) （11）其中，、分別是、維向量；、是常值矩陣，在的有限時(shí)間區(qū)間[ ，]，可以發(fā)現(xiàn)控制使，系統(tǒng)的狀態(tài)在時(shí)刻是可以控制的；假如系統(tǒng)對(duì)于任何一個(gè)初始狀態(tài)都可以控制，那么就稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以控制的，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或者系統(tǒng)是可控的。從60年代中期到現(xiàn)在，不僅在研究?jī)?nèi)容和研究方法，對(duì)于線性系統(tǒng)，有很多新的突破。這種方法對(duì)單輸入輸出類(lèi)型的線性定常系統(tǒng)的剖析效果很好。隨著科學(xué)技術(shù)越來(lái)越成熟，自動(dòng)控制理論進(jìn)入了一個(gè)新的過(guò)渡階段，從過(guò)去傳統(tǒng)的控制理論到現(xiàn)在的控制理論。另外：分塊矩陣也能定義初等變換。初等變換（elementary transformation）是高代中的數(shù)學(xué)名詞，同時(shí)也代表著一種運(yùn)算。要達(dá)到目的這里需要介紹一個(gè)非常有用的定理。（為一個(gè)對(duì)角矩陣或者對(duì)角矩陣的塊）。變換矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。定義 一個(gè)的矩陣稱(chēng)為可逆的，如果有一個(gè)的矩陣使 , (1)(1)的矩陣(它是唯一的)被稱(chēng)作的逆矩陣，記作.例 已知,求。在抽象代數(shù)里，代數(shù)結(jié)構(gòu)（algebraic structure）是指至少具備兩個(gè)的計(jì)算（最常用的操作，可以存在無(wú)數(shù)個(gè)計(jì)算）的非空集合。 利用HamiltioCayley定理求矩陣函數(shù)定理 (HamiltonCayley) 設(shè)A∈Mn(F), f(l)=是A的特征多項(xiàng)式，則　　　　　.為了便于后面的理解，這里作一點(diǎn)簡(jiǎn)單的證明。物理學(xué)中的矩陣函數(shù)的計(jì)算，統(tǒng)計(jì)和模擬電路有許多實(shí)際的應(yīng)用，例如，被要求限定入口，行列式的逆矩陣的跡和高階矩陣值等。根據(jù)這個(gè)定義，可以得到和數(shù)學(xué)分析中一些函數(shù)相似的矩陣函數(shù)，可以通過(guò)以前學(xué)過(guò)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)類(lèi)比現(xiàn)在得到的矩陣函數(shù)的性質(zhì)。 一些矩陣函數(shù)的重要性質(zhì)及推論性質(zhì)1：和可交換，即證 設(shè)純量多項(xiàng)式，則矩陣多項(xiàng)式為，于是== 性質(zhì)2：函數(shù)和（或差）的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的和（或差），即性質(zhì)3：函數(shù)積的矩陣函數(shù)等于矩陣函數(shù)的積，即性質(zhì)4：若,則，即若，則證 由于，故存在可逆矩陣，使得，若是純量多項(xiàng)式，則,即性質(zhì)5：設(shè)，且,函數(shù)在上有定義，在上有定義，則證 設(shè)，的最小多項(xiàng)式的次數(shù)分別為和，則存在次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式和次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，使得由于，因此對(duì)任意正整數(shù)，有，從而A的多項(xiàng)式與B的多項(xiàng)式相乘時(shí)可交換，即得性質(zhì)6：設(shè)，A的特征值都是正實(shí)數(shù)，是系數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，它的收斂半徑，則，且證 因?yàn)锳的特征值都是正實(shí)數(shù)，且是系數(shù)為非負(fù)實(shí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，因此的特征值為，其中是A的特征值，所以若不恒為0，則，從而；若恒為0，則，從而。階方陣可對(duì)角化的充要條件是它有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量?；悖慊┒囗?xiàng)式給定矩陣，如果多項(xiàng)式，滿足,則稱(chēng)是的化零多項(xiàng)式，（一般取首項(xiàng)系數(shù)為1）。（必須為對(duì)稱(chēng)陣）狹義定義：一個(gè)階的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù)向量，都有。冪級(jí)數(shù)，是級(jí)數(shù)中非常重要的一種，被當(dāng)作基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用在實(shí)變型函數(shù)、復(fù)變型函數(shù)和其他許多基本領(lǐng)域中，在這些領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用。在數(shù)域與集合中的元素再定義另外一種運(yùn)算，叫作數(shù)量乘法；就是如果數(shù)域中任何一數(shù)與中的任何一個(gè)元素，在中都能找到一個(gè)元素和它匹配，是和的數(shù)量乘積，記為。文章的第三部分，歸納了矩陣函數(shù)的若干計(jì)算方法，包括了HamiltioCayley定理、利用相似對(duì)角化計(jì)算、利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型法進(jìn)行計(jì)算、利用待定系數(shù)法求解等四種計(jì)算方法。矩陣的特征向量可以揭示一個(gè)線性變換的深層次特征。矩陣的發(fā)展歷史，著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯（Frobenius）起著非常重要的作用，他是第一個(gè)對(duì)矩陣中最小多項(xiàng)式問(wèn)題作全面介紹的著名數(shù)學(xué)家。矩陣（Matrix）在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上有著非常重要的位置，它一直是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)主要方面，是數(shù)學(xué)在研究和應(yīng)用過(guò)程中經(jīng)常用到的知識(shí)。事實(shí)上子宮基質(zhì)的控制中心和開(kāi)始生活意義的地方是矩陣最開(kāi)始的意義，所以說(shuō)矩陣有生命的意義。成書(shū)于漢朝前期的《九章算術(shù)》，在表示線性方程組的過(guò)程中使用了將方程中不同系數(shù)分開(kāi)的方法，這種方法在后來(lái)的不斷演化下最終得到方程的增廣矩陣。在學(xué)術(shù)研究中恰當(dāng)?shù)厥褂镁仃?，能用向量空間中的向量表示線性方程組中系數(shù)矩陣；因此，一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及一系列問(wèn)題的理論解之間的不同關(guān)系，都可以得到徹底解決。在19世紀(jì)50年代，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（Cayley）公開(kāi)展示了自己關(guān)于矩陣的最新研究成果《矩陣論的研究報(bào)告》，這項(xiàng)研究成果使我們對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)更深入了一步。到這時(shí)，矩陣已經(jīng)相當(dāng)完善了。本文主要論述了矩陣函數(shù)以及應(yīng)用。2 矩陣函數(shù) 研究本論文具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為了進(jìn)一步討論和便于理解，引入以下研究本論文的相關(guān)概念：線性空間 在集合上具有一定的結(jié)構(gòu)或符合一定的要求，那么這個(gè)集合就是特定的空間。如：，縮寫(xiě)為，就是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，記作是級(jí)數(shù)的部分和。廣義定義：設(shè)是階方陣，如果有任意非零向量，都有， 是的轉(zhuǎn)置，稱(chēng)為正定矩陣。 對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣 對(duì)稱(chēng)矩陣的定義是：（的轉(zhuǎn)置），對(duì)稱(chēng)的矩陣元素。 表示數(shù)域F上矩陣全體的線性空間； 表示復(fù)矩陣集； 數(shù)域F上的純量多項(xiàng)式；1矩陣的譜 矩陣通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算出來(lái)的特征值的集合就是一個(gè)矩陣的譜，通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)也就是：表示的譜，即；1其中次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式稱(chēng)為矩陣的最小多項(xiàng)式，記做；1文獻(xiàn)[1]給出矩陣級(jí)數(shù)的定義：定義1：設(shè)是的矩陣序列，其中，無(wú)窮和稱(chēng)為矩陣級(jí)數(shù)，記稱(chēng)為矩陣級(jí)數(shù)的部分和，如果矩陣序列收斂，且有極限，即，則稱(chēng)矩陣級(jí)數(shù)收斂，并稱(chēng)為矩陣級(jí)數(shù)的和，記為。 矩陣函數(shù)的定義類(lèi)比于代數(shù)中函數(shù)的定義，能知道定義域和值域都屬于方陣的函數(shù)稱(chēng)為矩陣函數(shù)。 常用的矩陣函數(shù)在矩陣?yán)碚撝?，有許多不同種類(lèi)的矩陣函數(shù)。如果把矩陣函數(shù)的變?cè)獡Q成，其中為參數(shù)，則相應(yīng)地有。為此，我們介紹下列幾種常用的算法。矩陣的伴隨矩陣可以按下面的方法定義：；（代數(shù)余子式的定義：在一個(gè)階行列式中,把元所在的第行和第列的全部元素去掉，剩下的所有元素組成的階行列式叫做元的余子式，記著。所以滿足上述定義的多項(xiàng)式就被稱(chēng)為多項(xiàng)式環(huán)。階的方陣能對(duì)角化的充要條件是它具備個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。對(duì)應(yīng)于的特征向量；對(duì)應(yīng)于線性無(wú)關(guān)的特征向量，故 使得 于是 上面介紹的是一般矩陣，一般矩陣可以通過(guò)相似對(duì)角化的方法求解矩陣函數(shù)，對(duì)一般矩陣而言相似對(duì)角化的過(guò)程必須先求出矩陣的特征向量。求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的具