網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無源性及耗散性-文庫吧在線文庫
【正文】 是Lyapunov穩(wěn)定的。如果存在連續(xù)函數(shù)，常數(shù)，使得對任意的，有(1)；(2)。線性定常系統(tǒng)描述為 其中，是非奇異陣。函數(shù)滿足不等式，由于的連續(xù)性，有當時。注意，與自治系統(tǒng)相比，時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析增加了一致性的概念。 Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法以下是一些實際中常采用的函數(shù)構(gòu)造方法。在考慮外部輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)特性分析時，可以采用輸入—輸出法來建模非線性系統(tǒng)，就像可以采用傳遞函數(shù)這種外部描述法來建模線性系統(tǒng)一樣。 如果，是一致有界信號的空間，則穩(wěn)定性即為有界輸入有界輸出穩(wěn)定性。如果使用輸入信號，那么，控制設(shè)計的目的是保證輸入—輸出映射是有限增益穩(wěn)定的，并且使系統(tǒng)的增益最小。第3章 網(wǎng)絡(luò)的無源性無源性的概念來源于電網(wǎng)絡(luò)和物理學的分支[3]，是與系統(tǒng)的能量存儲函數(shù)以及外部輸入和輸出信號相關(guān)的概念。對于一個多端口的網(wǎng)絡(luò)，和是向量，流入網(wǎng)絡(luò)的功率是內(nèi)積。 對于式系統(tǒng)，如果存在連續(xù)可微的半正定的函數(shù)，使得 對任意的輸入信號都成立，則稱式系統(tǒng)是無源的。這就意味著無源系統(tǒng)的運動總是伴隨著能量的損耗?？紤]線性系統(tǒng) 注意到式線性系統(tǒng)是式非線性系統(tǒng)的特例。耗散系統(tǒng)在任意時刻所具有的能量總是小于或等于系統(tǒng)初始時刻的能量和外部提供的能量之和，這種物理意義和無源性完全相同，只是在能量供給方式上更具有一般性[5]。簡單的單位負反饋就可使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定[6]。表示對向量的歐幾里得范數(shù)。有下面的引理。另外，由于實際系統(tǒng)難以精確描述，運行過程中也有各種各樣的不確定性，解決了魯棒耗散問題才能使耗散理論的應(yīng)用更加有效，所以研究不確定系統(tǒng)的魯棒耗散控制問題既有重要的理論價值也具有重要的實際意義。無源系統(tǒng)并不是穩(wěn)定系統(tǒng)的子集，無源系統(tǒng)加上可探測性條件才會是穩(wěn)定的[4]。假設(shè)存在連續(xù)可微半正定函數(shù)，使得，那么。若存在半正定的存儲函數(shù)使得耗散不等式對于任意輸入成立，則稱該系統(tǒng)對能量供給率是耗散的。系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的，且其增益小于或等于。 對于式系統(tǒng)，如果當，時，必有，則該系統(tǒng)被稱為零狀態(tài)可檢測的。這個事實也為無源性理論和非線性系統(tǒng)集幾何理論的深入結(jié)合來解決系統(tǒng)控制問題提供了良好的基礎(chǔ)：第二、應(yīng)用它們可方便研究受控動態(tài)系統(tǒng)的諸如系統(tǒng)鎮(zhèn)定，調(diào)節(jié)問題，魯棒控制，自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制以及控制等重要課題。其中，為滿足的任意矩陣。不等式的左端為式系統(tǒng)的范數(shù)的定義。 耗散性定義 考慮式系統(tǒng)及能量供給率。關(guān)于非線性系統(tǒng)的耗散性研究，一般非線性系統(tǒng)的耗散性研究主要集中在仿射系統(tǒng)的無源性及無源化上。代表單位時間內(nèi)隨輸入信號注入系統(tǒng)的能量供給率。 無源性條件考慮非線性系統(tǒng) 式中，和分別為狀態(tài)向量、輸入信號和輸出信號。顯然，由上述定義可知，無源性是與系統(tǒng)的外部輸入、輸出信號相關(guān)的概念。首先把這一無源性概念推廣到無記憶非線性函數(shù) 其中。 無源性的概念無源性的概念來源于電網(wǎng)絡(luò)，所以用電路來闡述該定義。如果存在一個連續(xù)可微的半正定函數(shù)和一個正數(shù)，使得如下不等式成立： 那么，對于所有的，系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的，且它的增益不大于。 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在定義在上的函數(shù)和一個非負常數(shù)，使得對任意，有 成立，則稱算子是穩(wěn)定的。因此，函數(shù)構(gòu)造為。 （漸近穩(wěn)定定理）對于式系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微函數(shù)，和連續(xù)正定函數(shù)，使得和沿式系統(tǒng)的任意軌跡的時間導(dǎo)數(shù)滿足(1)(2)則是該系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定的平衡點。令，則(1)如果的所有特征根均為負實部，原點是漸近穩(wěn)定的。而矩陣特征根均為負實部，當且僅當對任意給定的正定對稱陣，存在滿足如下Lyapunov方程的對稱正定陣，而且，如果陣是穩(wěn)定陣，那么，是方程的唯一解。若存在連續(xù)可微函數(shù)，有，并且對于在原點的任意小鄰域內(nèi)（很?。┯?。 （全局漸近穩(wěn)定）對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是連續(xù)可微函數(shù)。需指出，時變系統(tǒng)平衡點的指數(shù)穩(wěn)定即為一致指數(shù)穩(wěn)定。（Lyapunov穩(wěn)定性和一致Lyapunov穩(wěn)定性）如果對于任意給定的及初始時刻，存在一個常數(shù)，使得對任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足 則稱平衡點是Lyapunov穩(wěn)定的。 時變系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性考慮非線性時變系統(tǒng) 式中，為狀態(tài)變量；為時間變量；是的分段連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于在上局部Lipschitz，是包含原點的域。（不穩(wěn)定）如果對于某一個，不管多么小，至少存在一個，使得時，式系統(tǒng)的解有 則稱式系統(tǒng)在平衡點處是不穩(wěn)定的。以后的討論中，除非特別聲明，均假設(shè)系統(tǒng)滿足上述解的存在性條件。例如，Lyapunov穩(wěn)定性—無外部信號激勵的情況下，系統(tǒng)的狀態(tài)能夠從任意的初始點回到自身所固有的平衡狀態(tài)的特性。無源性的概念是與實際系統(tǒng)的能量存儲函數(shù)以及外部輸入和輸出信號相關(guān)的概念。它把系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性和穩(wěn)定性聯(lián)系在一起，為分析非線性系統(tǒng)平衡點處Lyapunov穩(wěn)定性和系統(tǒng)輸入—輸出穩(wěn)定性提供了方便直觀的工具。因此，也稱為平衡點的Lyapunov穩(wěn)定性。需指出，這里只討論平衡點
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