哈工大離散數(shù)學(xué)教科書習(xí)題答案-文庫吧在線文庫
【正文】 ，假設(shè)不是滿射，則，使得。逆否命題：。（2）自己做。（a） (b)圖15. 是否有一個從到的一一對應(yīng)，使得，但？ 解：存在。因而假設(shè)不成立，故與奇偶性相同。那么“”是N上的代數(shù)運(yùn)算嗎？為什么？解：當(dāng)m=1時，因此“”不是N上的代數(shù)運(yùn)算。g) 若R與S是傳遞的，則R\S是傳遞的答案：真真真假真真假“小于”關(guān)系是否市反自反的？集合X的冪集上的“真包含”關(guān)系是否是反自反的？為什么？證：實(shí)數(shù)集合上的“小于”關(guān)系是反自反的；集合X的冪集上的“真包含”關(guān)系也是反自反的。從而，因此?！彼淖C明如下：若xRy，則由R的對稱性便知有yRx。解：，下列命題哪些為真？a）若R,S都是自反的，則也是自反的。從而且，所以，即。證3用數(shù)學(xué)歸納法對n進(jìn)行歸納。，則當(dāng)每個Ri是對稱關(guān)系時，還是對稱的嗎？證：，則的使得。 其次，設(shè)，因?yàn)槭且磺邪淖苑磦鬟f關(guān)系的交，而本身是自反的也是傳遞的且，故，即，因此。因此的確不相等。證：，則，使得。例：設(shè)，A上的兩個關(guān)系。圖4，故。，證明：是X上的等價(jià)關(guān)系，求。解：如因?yàn)?，但，所以不對稱..因此不是等價(jià)關(guān)系。綜上可知：是上的偏序關(guān)系。(3)，若且，有且。，使得中有唯一的極大元素，但沒有最大元素？若有請給出一個具體例子；若沒有，請證明之。證：（1）即可（2）自反、對稱顯然。，證明：是上的全序關(guān)系。證：在每個開區(qū)間中取一個有理數(shù)，則這些有理數(shù)構(gòu)成的集合是整個有理數(shù)集合Q的子集，因此是至多可數(shù)的。此序列對應(yīng)著一個二進(jìn)制小數(shù)，而此小數(shù)是有理數(shù)。（中的每個f實(shí)際上就是Ｂ的一個有限子集，可數(shù)集的有限子集是可數(shù)的。由于的全部元素可以排成無重復(fù)項(xiàng)的無窮序列，故是可數(shù)的。證：可數(shù)，則令。構(gòu)造序列，若；否則。故不可數(shù)?！蓴?shù)的，故。證明是可數(shù)集證１：設(shè)有限字母上所有字（包括空字）所形成的集，則是可數(shù)的。5．判斷下列命題之真?zhèn)危?1)若且是滿射，則只要是可數(shù)的，那么是至多可數(shù)的；(2)若且是單射，那么只要是可數(shù)的，則也是可數(shù)的；(3)可數(shù)集在任一映射下的像也是可數(shù)的；答案：對，錯，錯。證：設(shè)則且。 ，有或，即與必有一個成立，故是上的全序關(guān)系。（3），因?yàn)槭巧系淖苑搓P(guān)系，故。＝｛1，2，…，12｝，畫出偏序集（S,|）的Hass圖，其中“|”是整除關(guān)系，它有幾個極大（小）元素？列出這些極大（小）元素極大元素有6個，分別是7，8，9，10，11，12極小元素有1個是1，則（1）給出的一個實(shí)例；（2）在上定義二元關(guān)系是：。：或，則不是偏序關(guān)系。由于是偏序集，故有。證明：是上的偏序關(guān)系（注意，這里的劃分與等價(jià)關(guān)系中的劃分不同）。，若，則i與j在的循環(huán)分解式中的同一個循環(huán)置換中，j與k在的循環(huán)分解式的同一個循環(huán)置換中，因而i與k也在的循環(huán)分解式中的同一個循環(huán)置換中，即。是S上的二元關(guān)系：。由，得，所以是包含的自反關(guān)系。（X=n）上的一個二元關(guān)系R使得兩兩不相等。解：故,S為X上的二元關(guān)系，試證：（1）（2）。證：（1）因?yàn)轱@然成立。，則，使得。因?yàn)镽，S均對稱，所以于是從而因此故證2，故，于是，證明：是對稱關(guān)系。 e）若R,S都是傳遞的，則也是傳遞的。若，只有使得xRx，才能說R是自反的。證1：，故是對稱的。從而（2），則，即或。，對稱性，反對稱性，傳遞性和反自反性的二元關(guān)系？解：存在。4. 給出一個三元運(yùn)算的例子解：求三個正整數(shù)的最大公因數(shù)。解： =(1 7)(1 3)(2 9)(2 8)(2 4)(2 6)，試證：與的奇偶性相同。（2）一定可逆。習(xí)題1. 設(shè)，試構(gòu)造兩個映射和g：，使得（1），但；（2），但。證：是單射，則，有。對于上面的，（是滿射），使得，即。于是且，使得。證明：存在X的一個真子集E使得。于是使得，且，從而，使得。于是但，因此，故反之，設(shè)，有因此，即從而故因而證2：2. 設(shè)，證明（1）（2）（3）證：（1）設(shè)，則使得。把52個余數(shù)放入到51個類中，必在兩個余數(shù)放在一個類里。將10個點(diǎn)放入該大等邊三角形中，則由鴿洞原理，必有一個小等邊三角形中至少有2個點(diǎn)，因此任意10個點(diǎn)中必有2個點(diǎn)其距離至多為1/3。令，則是單射。 第二章 映 射習(xí)題1. 設(shè)A，B是有窮集，（1）計(jì)算；（2）從A到A有多少個雙射？解：（1）；（2）從A到A共有m!個雙射。證：設(shè)是小伙的集合，是姑娘的集合。令表示第個信封恰好裝對的集合，則。從而。7．設(shè)是三個任意集合，證明：證： 8．設(shè)A,B為集合，下列命題哪些為真？（1）且（2）或（3）（4）若，則。(2) 若，則，即。若，同理可證。于是，因此且，故A=B。若（3）成立，AB=BB=BA。（2），因?yàn)橹杏袩o窮多項(xiàng)含有x，故，當(dāng)時，因此，從而，即反之，則，即中有無窮多項(xiàng)多含x，所以，即綜上可得：。又記為這樣的元素全體形成的集合；序列中只有有限項(xiàng)不含有這樣的元素。其次，證明。對于，假設(shè)存在，使得，必可找到其中最小的值，使得，故；假如不存在p，則，故。證： 當(dāng)n＝1時，故當(dāng)n≥2時，設(shè)有或。(a)__________________； (b)__________________； (c)___________________；(d)___________________； 解：(a) 且； (b) 或 (c) 或； (d) （且）或（且）1
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