線性系統(tǒng)的根軌跡法-文庫吧在線文庫
【正文】 環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點 例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： ， 212( 2 5 1 )( ) ( )22K s sG s H sss?????求系統(tǒng)開環(huán)零、極點的位置。 二、運動形式 ?如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點，且閉環(huán)極點均為實數(shù)極 點，則時間響應(yīng)一定是單調(diào)的； ?如果閉環(huán)極點均為復(fù)數(shù)極點，則時間響應(yīng)一般是振蕩的。 實例 * ( 2 1 ) ( 2 1 )() ( 1 )K K s j s jGs ss? ? ? ?? ?*() ( 1 )K KGs ss? ?(2)增加一對軛復(fù)數(shù)零點 三、零度根軌跡 常規(guī)根軌跡的相角條件： (2k+1)?=180o+2k? 180o根軌跡 零度根軌跡的相角條件： 2k?=0o+2k? 零度根軌跡的來源： (系統(tǒng)在 s平面的右半側(cè)有開環(huán)零極點 )中包含 s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子； 。 2( 2 2 ) 0s s a s? ? ? ?閉環(huán)特征方程為： 21022asss????等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 11 2( ) ( ) 22asG s H sss? ??( 1 ) ( 1 )ass j s j? ? ? ? ?： 1 1 20 1 1z p j p j? ? ? ? ? ? ?，： (－ ∞， 0] 180( 2 1 )180ak????? ??? ? ? ????： 0 1 1221a jjs ? ? ? ?? ? ??： 1 1 8 0 1 3 5 9 0 2 2 5pq ? ? ? ? ? ? ? ?2 225pq ? ? ?： 2 22ssa s????2 20s ??121 . 4 1 41 . 4 1 4 ( )ss??? ? ?? 舍去2 1 0 2 1 0 1 2 22( 2 2 ) ( 2 2 ) 0d a s s s sd s s? ? ? ???例 2[例 47]設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 如下，其中開環(huán)增益可自行選定。為了得到準(zhǔn)確的根軌跡曲線，必要時可以選取若干個試驗點，用相角條件去檢驗。 該規(guī)則的作用： (1)定性判斷根軌跡的走向； (2)已知幾個閉環(huán)根可以求出其他一個或兩個根。 3 2 1 9 0 1 1 7 6 3 5 1 5 3 1 9 9 1 2 1 5 1149?? ( ) [ ( ) ( . ) ] . ( )z kk? ? ? ? ? ? ? ? ? 取終止角： 概略根軌跡圖 法則 7. 根軌跡與虛軸的交點 根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 19 176。 θp2 = θp1= 176。 iz?11( 2 1 ) ( ) 。 321( ) 2 8 1 0 62 .5P s s s ss s s? ? ????22 3 ? ? ? 0. 25余21( ) 2 3 2 .50 .2 5Q s s sR? ? ???21( ) 2 3 2 .52 .5Q s s ss s s?????22s?? 2 ?1212RssR?? ?? ? ? ? ?所以，分離點為 。 () ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s?? ??解 ： 根軌跡有 3條； 起點為 開環(huán)極點： p1=0， p2=1， p3=5； 因無有限值零點，所以 3條根軌跡 都趨向無窮遠(yuǎn)。 p2的向量的相角為 0176。 11| ( ) |1| ( ) |mjjniiszKsp?????????11| ( ) |1| ( ) |mjjniiszKsp????????11| ( ) |1| ( ) |mjjniiszKsp????????K*=0時 1| ( ) | 0n iisp????必有 1 , 2 , . . . , )is p i n? ? ?K*=∞ 時 1| ( ) | 0mjjsz????必有 1 , 2 , .. ., )js z j m? ? ?起點 終點 若 nm，那么剩余的 nm個終點在哪里？ 答案：在無窮遠(yuǎn)處。 對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 根軌跡法的基本概念 根軌跡繪制的基本法則 廣義根軌跡 系統(tǒng)性能的分析 利用 MATLAB繪制根軌跡圖 (補充 ) 根軌跡法的基本概念 一、根軌跡定義 開環(huán)傳遞函數(shù)的某個參數(shù)由 0~∞時，閉環(huán)特征根在 s平面上移動的軌跡。 ?(2)閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路傳遞數(shù)的極點所組成。 根軌跡繪制的基本法則 一、繪制根軌跡的基本法則 法則 1. 根軌跡的起點和終點 根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，若 nm，則有 nm條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。 z z2的向量的相角之和 q 3+q4=0176。若終點在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實軸的交點和夾角。 32* 561s s sKs?????* 3 2 3 22( 5 6 ) ( 1 ) ( 5 6 ) ( 1 )( 1 )d K s s s s s s s sd s s??? ? ? ? ? ? ????解： 3222 8 1 0 6( 1 )s s ss? ? ????C ( s )R ( s )123* ()( ) ( )Kss s s???32( ) 2 8 1 0 6P s s s s? ? ? ? ?因 [ 3, 2]內(nèi)必有分離點，所以選 s1=。 0 , 1 , 2 . . .i j i j imnp z p p pjjjikkq ? ? q???? ? ? ? ? ? ???終止 (入射 )角 ? zi： 終止于 開環(huán)復(fù)數(shù)零點 的根軌跡在終點處的切線與 正實軸 的夾角。 取 k=0(考慮到周期性 )： θp1= 176。 37 176。 117 176。 表明： 當(dāng) K*變化時，部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動 (變大 )，則另一些極點必然向左移動 (變小 )。 特征方程： 8 6 4 2 0 2864202468概略根軌跡圖 開環(huán)極點、零點分布及其相應(yīng)的根軌跡 二 、 閉環(huán)極點的確定 上面繪制根軌跡的基本原則，可以簡便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。 繪制參數(shù)根軌跡的步驟 2( 1)()ss s a?? )(sR )(sC[解 ]： 2 2 2 0s as s? ? ? ?例 1： 繪制如下系統(tǒng)以 a為參數(shù)的根軌跡。 (1)增加一個 實數(shù) 零點 * ( 2 )() ( 1 )K KsGs ss ?? ?*() ( 1 )K KGs ss? ? 增加的零點使根軌跡左偏，對系統(tǒng)穩(wěn)定有利。 正反饋 (0度 )根軌跡圖 將例 1給出的開環(huán)
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