【正文】 就得到了∠5＝30176。時，BP＝BQ．解方程4－t＝2t，得t＝（如圖4）．圖3 圖4 圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)G恰為MN的中點(diǎn)時，MQ＝NP．作QE⊥y軸于E，作NF⊥x軸于F，作QH⊥x軸于H，那么△MQE≌△NPF．由已知條件，可得P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得xQ＝xN－xP，即3－t＝xN－(t－1)．解得xN＝2．將x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．由QH//NF，得，即．整理，得t2－9t＋12＝0．解得．因?yàn)閠＜2，所以?。键c(diǎn)伸展第（3）題也可以應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得．所以xN＝2xG＝2．167。AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從A向C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒．（1）在運(yùn)動過程中，求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動點(diǎn)P在AC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況． 思路點(diǎn)撥1．過點(diǎn)B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值．2．線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點(diǎn)Q分別在AB、BC上．3．等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，作BD//PQ交AC于點(diǎn)D，那么．所以AD＝5．所以CD＝3．如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，．又因?yàn)?，所以．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD．在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是．圖1圖2 圖3 圖4（2）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時，0＜t≤5，S△ABD＝15．由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，5＜t≤8，S△ABC＝24．因?yàn)镾△CQP＝＝＝，所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時，CQ＝2CP，∠C＝90176。1．2 因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué) 我們先回顧兩個畫圖問題：1．已知線段AB＝5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2．已知線段AB＝6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C．已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．圖1 圖2 圖3 圖1例 9 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)．動感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況．思路點(diǎn)撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在五種情況，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)有三個值，根據(jù)對稱性，MA＝MN和NA＝NM時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的．圖文解析（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負(fù)值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知A(0, 2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AM＝AN時，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0．圖2 圖3圖4 圖5②如圖4，當(dāng)MA＝MN時，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時x＝OH＝2．所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．如圖5，當(dāng)NA＝NM時，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為．③如圖6，當(dāng)NA＝NM＝4時，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以O(shè)N＝2．此時x＝OH＝2．所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．如圖7，當(dāng)MN＝MA＝4時，根據(jù)對稱性，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為．圖6 圖7考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)B(0, 1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．已知B(0, 1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．例 10 2014年湖南省張家界市中考第25題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）過O、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為(10, 0)和，以O(shè)B為直徑的⊙A經(jīng)過C點(diǎn)，直線l垂直x軸于B點(diǎn)．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是⊙A上一動點(diǎn)（不同于O、B），過點(diǎn)M作⊙A的切線，交y軸于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結(jié)論；（4）若點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動，點(diǎn)Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動，經(jīng)過t（0＜t≤8）秒時恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值．圖1 動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14張家界25”，拖動點(diǎn)M在圓上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，△EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高．拖動點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，△BPQ有三個時刻可以成為等腰三角形． 思路點(diǎn)撥1．從直線BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊．2．設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便．3．第（3）題連結(jié)AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高． 4．第（4）題的△PBQ中，∠B是確定的，夾∠B的兩條邊可以用含t的式子表示．分三種情況討論等腰三角形．圖文解析（1）直線BC的解析式為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(10, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝ax(x－10)．代入點(diǎn)C，得．解得．所以．拋物線的頂點(diǎn)為．（3）如圖2，因?yàn)镋F切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90176。．此時△APD∽△CBP．綜上所述，當(dāng)x＝2時，△APD∽△CBP．（3）如圖5，設(shè)△ADP的外接圓的圓心為G，那么點(diǎn)G是斜邊DP的中點(diǎn)．設(shè)△PCB的外接圓的圓心為O，那么點(diǎn)O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與BC交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．設(shè)AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60176。14．4三角形167。1．6因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題167。1．1　因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 167。3．1　　代數(shù)計(jì)算及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題167。4．7函數(shù)的圖象及性質(zhì)167。j夾∠A的兩條邊AP、AQ都可以用t表示，分兩種情況討論直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，根據(jù)PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ與△BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論．圖文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．將A(3, 0)、B(0, 3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得所以拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠PAQ＝45176。OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以O(shè)C2＝OA時，求點(diǎn)Q(x, x2)的坐標(biāo)有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H．根據(jù)EH2＝HO1．6 因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題課前導(dǎo)學(xué)一、圓與圓的位置關(guān)系問題，一般無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形．解這類問題，一般分三步走，第一步先羅列三要素：R、r、d，第二步分類列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．第一步在羅列三要素R、r、d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步分類列方程，就是指外切與內(nèi)切兩種情況．二、直線與圓的位置關(guān)系問題，一般也無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形．解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．第一步在羅列兩要素R和d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根據(jù)直線與圓相切時d＝R列方程．如圖1，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，圓O的半徑為1，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，如果圓C既與直線AB相切，又與圓O相切，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．“既……，又……”的雙重條件問題，一般先確定一個，再計(jì)算另一個．假設(shè)圓C與直線AB相切于點(diǎn)D，設(shè)CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4－5m)．羅列三要素：對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m；圓心距OC＝4－5m．分類列方程：兩圓外切時，4－5m＝3m＋1；兩圓內(nèi)切時，4－5m＝3m－1．把這個問題再拓展一下，如果點(diǎn)C在y軸上，那么還要考慮點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸．相同的是，對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m；不同的是，圓心距OC＝5m－4．圖1 圖1 圖2 圖3例 42 2014年湖南省衡陽市中考第27題如圖1，直線AB與x軸交于點(diǎn)A(－4, 0)，與y軸交于點(diǎn)B(0, 3)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿直線AB向點(diǎn)B移動．，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，設(shè)運(yùn)動時間為t（0＜t＜5）秒．（1）證明：在運(yùn)動過程中，四邊形ACDP總是平行四邊形；（2）當(dāng)t取何值時，四邊形ACDP為菱形？請指出此時以點(diǎn)D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系并說明理由．圖文解析（1）如圖2，由A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直線AB的解析式為．所以直線AB//CD．在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝，所以O(shè)C＝，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四邊形ACDP總是平行四邊形．（2）如圖3，如果四邊形ACDP為菱形，那么AC＝AP．所以4－＝t．解得t＝．此時OD＝＝．所以BD＝＝．作DE⊥AB于E．在Rt△BDE中，sinB＝，BD＝，所以DE＝BDx2＝．它的幾何意義是HS∠BFP＝∠CFB＋90176。所以AF是圓的直徑．在Rt△EAF中，由于tan∠EAF＝＝，設(shè)EF＝，EA＝2x．在Rt△ECF中，∠C＝60176。當(dāng)CM⊥AD時，∠OCN＝30176。＝．所以≤t＜4．②如圖4，當(dāng)HM在AD上時，正方形的邊長為t－3，S＝(t－3)2．如圖5，當(dāng)G落在AC上時，AH＝HGtan30176?！螧DF＝∠CEF＝90176。2．1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題課前導(dǎo)學(xué)（一）圖形運(yùn)動的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題．產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系．還有一種不常見的，就是線段全長等于部分線段之和．由勾股定理產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，在兩種類型的題目中比較常用．類型一，已知“邊角邊”，至少一邊是動態(tài)的，求角的對邊．如圖1，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3, 4)，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)OB＝x，AB＝y(tǒng)，那么我們在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．類型二，圖形的翻折．已知矩形OABC在坐標(biāo)平面內(nèi)如圖2所示，AB＝5，點(diǎn)O沿直線EF翻折后，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D落在AB邊上，設(shè)AD＝x，OE＝y(tǒng)，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．圖1