【正文】 4，∴△ABN的面積S2=4=5，∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30．設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．∵BC=5，∴BC?BD=30，∴BD=3．過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．∵BC⊥BD，∠OBC=45176?！唷鰿EQ∽△CDO．（4）存在．如答圖②所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．（證明如下：不妨在線段OD上取異于點F的任一點F′，在線段QE上取異于點P的任一點P′，連接F′C″，F′P′，P′C′．由軸對稱的性質可知，△P′CF′的周長=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是點C′，C″之間的折線段，由兩點之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周長大于△PCE的周長．）如答圖③所示，連接C′E，∵C，C′關于直線QE對稱，△QCE為等腰直角三角形，∴△QC′E為等腰直角三角形，∴△CEC′為等腰直角三角形，∴點C′的坐標為（4，5）；∵C，C″關于x軸對稱，∴點C″的坐標為（0，﹣1）．過點C′作C′N⊥y軸于點N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為．12．如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D．（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數綜合題．菁優(yōu)網版權所有專題：壓軸題．分析：（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c由拋物線與y軸交于點C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3．把點A（1，0）、點B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴頂點D的坐標為（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD為直角三角形．解法二：過點D作DF⊥y軸于點F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45176。∴△AOC∽△COB．（4）∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，可設點Q（3，t），則可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）當AQ=CQ時，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）當AC=AQ時，有=，t2=﹣5，此方程無實數根，∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；iii）當AC=CQ時，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4177。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了?！螼AB+∠CAD=90176?！唷鰾CD為直角三角形．（3）①△BCD的三邊，==，又=，故當P是原點O時，△ACP∽△DBC；②當AC是直角邊時，若AC與CD是對應邊，設P的坐標是（0，a），則PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，則P的坐標是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；③當AC是直角邊，若AC與BC是對應邊時，設P的坐標是（0，b），則PC=3﹣b，則=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）時，則△ACP∽△CBD一定成立；④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（d，0）．則AP=1﹣d，當AC與CD是對應邊時，=，即=，解得：d=1﹣3，此時，兩個三角形不相似；⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側，設P的坐標是（e，0）．則AP=1﹣e，當AC與DC是對應邊時，=，即=，解得：e=﹣9，符合條件．總之，符合條件的點P的坐標為：．對應練習13．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最?。咳舸嬖?，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．考點：二次函數綜合題．菁優(yōu)網版權所有專題：代數幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；（2）利用待定系數法求出直線AC的解析式，然后根據軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D；（3）根據直線AC的解析式，設出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據直線l與x軸的夾角為45176?！逴C=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45176?！唷鱉P1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點P1（1，﹣1）；（11分）②若以點A為直角頂點；則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點P2（2，1），（14分）經檢驗，點P1（1，﹣1）與點P2（2，1）都在拋物線y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線y=ax2﹣ax﹣2經過點B．（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數綜合題．菁優(yōu)網版權所有專題：代數幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）首先過點B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點B的坐標；（2）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；（3）分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．解答：解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90176。sin∠POD==，∴∠POD=60176。得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），∵拋物線經過點A′、B′、B，∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2）將B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P為第一象限內拋物線上的一動點，設P（x，y），則x＞0，y＞0，P點坐標滿足y=﹣x2+x+2．連接PB，PO，PB′，∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=12+2x+2y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：12=1，假設四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此時y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在點P（1，2），使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍． （3）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質中的任意2個均可．①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形對角線相等；③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符號表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．（1）求拋物線頂點A的坐標；（2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；（3）在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存