有限元試題總結-文庫吧在線文庫
【正文】 在約束下的泛函極值，新泛函應如何構造？答： 滿足條件下的泛函極值求解應如何構造新泛函？答： 寫出直梁彎曲問題的勢能原理表達式，并說明真解的充分必要條件？答：一變剖面梁，一端固支，另一端簡支。由此得到的駐值條件等價于平衡條件。如果采用二次曲線逼近，則計算精度與計算效率可大大提高，二次曲線即有限元中的高次單元。1 有限元結構總剛矩陣有哪些性質(zhì)？采用一維變帶寬存貯方法的方程組求解方案的可行性原因何在？答：總綱特征：對稱性；稀疏性；帶狀性；奇異性（置入邊界條件后是正定的）有限元總體剛度矩陣是稀疏矩陣，絕大多數(shù)矩陣值都為0，如果在內(nèi)存與外存中按照矩陣格式保存，則會浪費大量資源。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對每一單元假定一個合適的(較簡單的)近似解,然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件),從而得到問題的解。使解得計算量減小和有效性增大。解：微分方程：，解為，代入邊界條件，得近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的極值必然等于真解。三、 計算題 （30分） （15分）一四節(jié)點平面等參元的形狀函數(shù)如下式所示，已知該單元的節(jié)點位移關系為：u1= u2 = u3 = u4，v1=v2=v3=v4=0（圖中的虛線狀態(tài)）。用有限元方法計算結構各點位移（要求作出求解過程的簡化圖）。用有限元方法計算結構各點位移。求2：取u的近似解形式為 ，aa2為未知參數(shù)，求使泛函取極值u的具體解。解：（1）令：則微分方程為：即：（2）將代入中：得到： 可得當 時 取極小值因此近似解為bayx （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉問題的泛函表達式為：式中，f為應力函數(shù)，且在邊界上求1：與問題等價的控制微分方程（ Euler方程）。有限元法是RayleighRitz法的一種局部化情況。自然邊界條件：x=l，w’’=0,w’’’=0。對等參元的數(shù)值積分，積分點減少可能對積分的精度和結構總體剛度矩陣的奇異性造成影響。從物體中取出一個單元，作為連續(xù)介質(zhì)的一部分，本來具有無限個自由度，在采用位移函數(shù)之后，只有以節(jié)點位移表示的有限個自由度，這相當于位移函數(shù)對單元變形能力有所限制，使得單元剛度增加，物體的整體剛度也增加了，因而計算的位移近似解小于精確解。 寫出用一維Hermit型基函數(shù)（形狀函數(shù)）構造未知位移場函數(shù)的表達式，并說明用其分段插值的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)？答：， ， 在單元內(nèi)的場函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導連續(xù)），而在單元間的節(jié)點上，要低一階（一階導連續(xù)，二階導存在）。P39 Hermit型分段插值基函數(shù)（形狀函數(shù)）的基本性質(zhì)有哪些？并說明用該基函數(shù)插值獲得的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)如何？答：四個形狀函數(shù)為三次函數(shù)；其中，一節(jié)導函數(shù)值在兩端點都為0；函數(shù)值在左節(jié)點為1，右節(jié)點為0；相反；所以這兩個形狀函數(shù)對w的節(jié)點值有影響，而不影響w一階導在端點的值；，在兩節(jié)點的值均為0；一階導函數(shù)值在左節(jié)點為1，在右節(jié)點為0，相反；說明這兩個形狀函數(shù)對w的節(jié)點導數(shù)值有影響，而不影響w在端點的值。當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。（1）在最小位能原
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