線性代數(shù)總結(jié)匯總經(jīng)典例題-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 ）→初等行變換→（E|A1）（三）矩陣的初等變換初等行（列）變換定義：（1）兩行（列）互換；（2）一行（列）乘非零常數(shù)c（3）一行（列）乘k加到另一行（列）初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 行列式（一）行列式概念和性質(zhì)逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號(hào)（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。A1 (k≠0)（2）（AB）1=B11（二）線性組合和線性表示線性表示的充要條件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化1Schmidt正交化設(shè)α1，α2，α3 線性無(wú)關(guān)（1）正交化令β1=α1（2）單位化4 線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量解的形式： (1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）解的定義：若η=（c1，c2，…，）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個(gè)解（向量）（二）解的判定與性質(zhì)齊次方程組：（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù)）（2）有非零解←→r（A）＜n非齊次方程組：（1）無(wú)解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）無(wú)窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n解的性質(zhì)：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1η2是Ax=0的解【推廣】（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為 Ax=b的解 （當(dāng)Σki=1） Ax=0的解 （當(dāng)Σki=0）（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則η2η1，η3η1，…，ηsη1為Ax=0的s1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。（3）上（下）三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素。（2）p=正特征值的個(gè)數(shù)，q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù)，p+q=非零特征值的個(gè)數(shù)=r（A）（三）合同矩陣定義：A、B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同△總結(jié)：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A、B的關(guān)系（1）A、B相似（B=P1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)（3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià)（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣?！铮?）正交變換法：通過(guò)正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2 其中，λ1，λ2，…，λn 是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi 對(duì)應(yīng)即可。特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：|λEA|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式（λ的n次多項(xiàng)式）。（2）若n維列向量α1，α2，α3 線性無(wú)關(guān)，β1，β2，β3 可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無(wú)關(guān)。B）≤r（A）177。（二）重要行列式上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘 Laplace展開(kāi)式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則n階（n≥2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明★對(duì)角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）展開(kāi)
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