【正文】 些問題的系統(tǒng)認(rèn)識，而不是急于做過難的綜合題．㈠深化對函數(shù)概念的認(rèn)識例1．下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是　　　　　　　　　?。? ） 分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因?yàn)檫^程太繁瑣．從概念看，這里應(yīng)判斷對于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法，請讀者自己一試．此題作為選擇題還可采用估算的方法．對于D，y=3是其值域內(nèi)一個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=1(1≤1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D．說明：不論采取什么思路，理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵．由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題．㈡系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法1．求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍．它依賴于對各種式的認(rèn)識與解不等式技能的熟練．這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字例2．已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量．由于f(x)，f(u)是同一個函數(shù)，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范圍．解：(1)由0＜x＜2， 得 說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域．關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法．(2)是二種類型的綜合．求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會涉及到．2．求函數(shù)值域的基本類型和常用方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的．其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域． 3．求函數(shù)解析式舉例例3．已知xy＜0，并且4x9y=36．由此能否確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由．分析： 4x9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當(dāng)然不能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？所以因此能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)．其定義域?yàn)?∞，3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域?yàn)?∞，0)∪(0，＋∞)．說明：本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系．任何一個函數(shù)的解析式都可看作一個方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式．求函數(shù)解析式還有兩類問題：(1)求常見函數(shù)的解析式．由于常見函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式．這里不再舉例．(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定．這要把有關(guān)學(xué)科知識，生活經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)概念結(jié)合起來，舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分．（Ⅲ）函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。即不存在，使得?！跋钡哪Ｊ讲⒉浑y唯一，這里提供一個與標(biāo)準(zhǔn)解答不同的“消元”設(shè)想，供參考。(2) 點(diǎn)P (x0, y0 ) (0 x0 1 )在曲線上,求曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達(dá)式(用x0表達(dá)).證明：（I）故f(x)在（0，1上是減函數(shù)，而在（1，+∞）上是增函數(shù)，由0ab且f(a)=f(b)得0a1b和， 故（II）0x1時，曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為：∴切線與x軸、y軸正向的交點(diǎn)為故所求三角形面積聽表達(dá)式為：2. (2004高考廣東卷，21)設(shè)函數(shù) 其中常數(shù)m為整數(shù). (1) 當(dāng)m為何值時, (2) 定理: 若函數(shù)g(x) 在[a, b ]上連續(xù),且g(a) 與g(b)異號,則至少存在一點(diǎn)x0∈(a,b),使g(x0)=0. 試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)m1時,方程f(x)= 0,在[eｍm ,e2ｍm ]內(nèi)有兩個實(shí)根.（I）解：函數(shù)f(x)=xln(x+m),x∈(m,+∞)連續(xù)，且當(dāng)x∈(m,1m)時,f ’（x）0,f(x)為減函數(shù),f(x)f(1m)當(dāng)x∈(1m, +∞)時,f ’（x）0,f(x)為增函數(shù),f(x)f(1m)根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1m)=1m為極小值，而且對x∈(m, +∞)都有f(x)≥f(1m)=1m故當(dāng)整數(shù)m≤1時，f(x) ≥1m≥0(II)證明：由（I）知，當(dāng)整數(shù)m1時，f(1m)=1m0,函數(shù)f(x)=xln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).由所給定理知，存在唯一的而當(dāng)整數(shù)m1時，類似地，當(dāng)整數(shù)m1時，函數(shù)f(x)=xln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1m)與異號，由所給定理知，存在唯一的故當(dāng)m1時，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實(shí)根。2．了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程。二．考試要求：1．靈活運(yùn)用函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式等知識以及分類討論等方法，解函數(shù)綜合題。4．已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實(shí)根為x：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.解：（Ⅰ）f＇(x)== ，∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立. ①設(shè)(x)=x2－ax－2，方法一： (1)=1－a－2≤0，① －1≤a≤1， (－1)=1+a－2≤0.∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f＇(1)=0以及當(dāng)a=－1時，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二： ≥0， 0，① 或 (－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0 0≤a≤1 或 －1≤a≤0 －1≤a≤1.∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=1時，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+80∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實(shí)根， x1+x2=a，∴ 從而|x1－x2|==.x1x2=－2，∵－1≤a≤1，∴|x1x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立. ②設(shè)g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一： g(－1)=m2－m－2≥0，② g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：當(dāng)m=0時，②顯然不成立；當(dāng)m≠0時， m0， m0，② 或 g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0 m≥2或m≤－2.所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.5．（2004年高考江蘇卷，22）已知函數(shù)滿足下列條件：對任意的實(shí)數(shù)x1，x2都有 和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實(shí)數(shù)a0，a，b滿足 和(Ⅰ)證明，并且不存在，使得；(Ⅱ)證明； (Ⅲ)證明.分析：本小題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.證法一：（I）任取 和 ② 可知 ， 從而 . 假設(shè)有①式知 ∴不存在 （II）由