【正文】 在Rt△ABC中，∠C=90176。而由∠CDE﹣∠CDA求出∠EDA為30176。又∵CD⊥EF，∴∠CDF=90176。∵∠BPC=90176。DN為∠QDF的角平分線，∴DN=QD=2；當(dāng)DQ=12時，過點N作NN1⊥QD于N1，∵∠QOF=90176。；②如圖，∵四邊形ABDH是平行四邊形，∴AH∥BD，AH=BD，∴∠EAH=∠AEB=90176。四邊形DEFG是正方形，∴∠C+∠ABC=90176。∴△MRN∽△NFD，∴∠MNR=∠NDF，∵∠NDF+∠DNF=90176。得到三角形ABC為等腰直角三角形，可得出兩個銳角為45176。得出∠ADM=30176。∴BF=BD=a，DF=a，∴PF=PB﹣BF=a，∴CF=PF+PC=a，在Rt△CFD中，根據(jù)勾股定理得：CD2=CF2+DF2，解得：CD=a，∵∠APD=∠B=60176。直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的數(shù)學(xué)思想，是一道難道較強的壓軸題．　15．（2012秋?大豐市期末）探索繞公共頂點的相似多邊形的旋轉(zhuǎn)：（1）如圖1，已知：等邊△ABC和等邊△ADE，根據(jù)　△AEC≌△ADB?。ㄖ赋鋈切蔚娜然蛳嗨疲傻肅E與BD的大小關(guān)系為：　CE=BD?。?）如圖2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如圖3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值．（用k的代數(shù)式表示）考點：相似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型．分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD，從而有∠CAE=∠BAD，則△AEC≌△ADB，就可得到CE=BD．（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=AB，AF=AE，∠CAB=∠FAE，從而得到==，∠CAF=∠BAE，就可得到△AFC∽△AEB，利用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．（3）連結(jié)FA、CA，根據(jù)矩形的性質(zhì)可以證到△FEA∽△CBA，從而得到=，∠FAE=∠CAB，從而有∠FAC=∠EAB，就可得到△FAC∽△EAB，利用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．解答：解：（1）如圖1，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD．∴∠CAE=∠BAD．在△AEC和△ADB中，．∴△AEC≌△ADB．∴CE=BD．故答案分別為：△AEC≌△ADB、CE=BD．（2）如圖2，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴AC=AB，AF=AE，∠CAB=∠FAE=45176。∠C=45，∴∠BAE=∠QEC=176?！唷螷DN=∠CBN，∴DK∥BC，∵DN=NB，CN=NK，∠DNK=∠BNC，∴△DNK≌△BNC，∴DK=BC=AC，∴∠KDC+∠DCB=180176。由∠NAM=45176?！郃M2+MN2=AN2，∴+n2=2++，∴n3﹣2n﹣4=0，∴n3﹣8﹣2n+4=0，∴（n﹣2）（n2+2n+4）﹣2（n﹣2）=0，∴（n﹣2）（n2+2n+4﹣2）=0，∴n﹣2=0或n2+2n+4﹣2=0，解得：n=2，N（2，0）；當(dāng)AM=AN時，2++=2+2n+n2，4n+4=2n3+n4，n4+2n3﹣4n﹣4=0，n4﹣4+2n（n2﹣2）=0（n2+2）（n2﹣2）+2n（n2﹣2）=0（n2﹣2）（n2+2n+2）=0，解得：n=，∵n＞0，∴n=，∴N（，0），當(dāng)AN=MN時，2+2n+n2=+n2，∴2n2+2n3=4，n3+n2﹣2=0，n3﹣1+n2﹣1=0，（n﹣1）（n2+n+1）+（n+1）（n﹣1）=0，（n﹣1）（n2+2n+2）=0，解得：n=1，∴N（1，0）．∴N點的坐標(biāo)為：（，0），（2，0），（1，0）點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，在解答的過程中證明三角形相似是關(guān)鍵．　19．（2012秋?亭湖區(qū)校級期中）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90176?！螦CB=30176。．∴∠5=∠6，∴EF=EC．在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF=2，BF=6，∴BE=6．（2）①如圖2，作NG⊥BC于G，∴∠NGC=90176?！唷螧′MC=90176。時，根據(jù)勾股定理可以得到AD2+DE2+CE2+CM2=BM2+AB2，設(shè)CE=x，即可得到關(guān)于x的方程，求得CE的長，然后利用勾股定理求得FG的長；當(dāng)∠AME=90176。AB=4，AC=3，求正方形的邊長．（3）如圖③，若△ABC是任意三角形，S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，則正方形的邊長為　2?。?）如圖④，若△ABC是任意三角形，求證：．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）設(shè)正方形DEFG的邊長為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)BC邊上的高等于BC，然后根據(jù)△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式求出x與BC的比，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方列式計算即可得解；（2）利用勾股定理列式求出BC，再根據(jù)三角形的面積求出BC邊上的高，然后根據(jù)△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式計算即可；（3）設(shè)正方形DEFG的邊長為x，△ADG邊DG上的高為y，根據(jù)等底的三角形的面積的比等于高的比用y表示出BE、CF，然后根據(jù)△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式求出x與y的關(guān)系，再根據(jù)△ADG的面積列式求出x，然后根據(jù)正方形的面積列式計算即可得解；（4）設(shè)正方形DEFG的邊長為x，△ABC邊BC上的高為h，根據(jù)△ADG和△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式整理得到x，然后放縮不等式得到x，再平方根據(jù)正方形的面積和三角形的面積公式即可得證．解答：解：（1）設(shè)正方形DEFG的邊長為x，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∴BC邊上的高等于BC，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴=，整理得，BC=3x，∴=，∵△ADG∽△ABC，∴=（）2，即=，解得S△ABC=18；（2）∵∠A=90176。時，∴；（3）當(dāng)∠AEM=90176?！螹HN=90176。．∵BB′=x，∴B′C=12﹣x，CE′=12﹣6﹣x=6﹣x∴B′M=6﹣x，MC=6﹣x，E′N=6﹣x，∴GE′=3﹣x，GN=3﹣x，∴S=，S=﹣+9，（0≤x≤6），∵DN最小，∴DN⊥AC，在Rt△DNC中，由勾股定理，得DN=4，CN=4，在Rt△GNC中，由勾股定理，得GN=2，在Rt△GNE′中，由勾股定理，得GE′=2，E′N=4．∴CE′=4．∴BB′=12﹣4﹣6=2．∴S=﹣4+9，=9﹣=②如圖3，當(dāng)DN⊥AC于N時，作NG⊥BC于G，∴∠DNM=∠DNC=∠NGC=90176。∴∠8=30176?；颉螹DN=90176。．∵∠AOC=∠MAO+∠AMO=45176。DP=CP，∵∠PDN+∠DNP=90176。又因為∠DCK=∠ACE，DK=AC，CD=CE，由三角形的全等可得AE=CK，所以AE=2CN；（2）延長CN交DE于點P，延長CH交DE于點M，由（1）問可知∠DCN=∠AEC=45176。且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q．（1）如圖2，若點E為BC中點，將∠DEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q．設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點A，EF與邊AC交于Q點．探究：在∠DEF運動過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)條件由勾股定理可以求出BC的值，再求出∠DEB=∠EQC，就可以得出△BPE∽△CEQ，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；（2））由∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C可以得出∠AQE＞∠AEF．從而有AE≠AQ，再分類討論，當(dāng)AE=EQ時和AQ=EQ時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)就可以求出BE的值．解答：解：（1）∵∠BAC=90176?！螰CD=∠NCQ，∴△FCD∽△NCQ，∴==，∴CN=4，NQ=，∵在Rt△AMD中，∠DAM=60176。又∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，∴∠BDP=∠APC，∴△PBD∽△ACP，設(shè)AB=AC=3b，則有BC=3b，由PC=2PB，得到PB=b，PC=2b，∴=，即=，解得：BD=b，∴AD=AB﹣BD=3b﹣b=b，則AD=BD；故答案為：AD=BD．（2）證明：∵AB=AC，∠BAC=60176。利用30176?！唷鰽MP是等邊三角形，∴AP=AM=MP=4，∴PC=16，PF=11，∴DP=14，∵∠DKN=∠NMP，∠MQP=∠KQD，∴△MPQ∽△KDQ，∴==，∴QP=DP=14=．點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．　14．（2012?香坊區(qū)一模）已知：在△ABC中，AB=AC，點P是BC上一點，PC=2PB，連接AP，作∠APD=∠B交AB于點D．連接CD，交AP于點E．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=90176?！唷螹ED=∠M′CD=120176?！唷螧+∠C=90176。），設(shè)AB=a，EH=b，且a＜2b．①如圖2，連接AG，設(shè)AG=x，請直接寫出x的取值范圍；當(dāng)x取最大值時，直接寫出θ的值；②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形，并求a與b的數(shù)量關(guān)系．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90176?！螾BC+∠BCP=90176?！唷螦DC=∠E′CD，∴CE′∥AB，∴∠CE′D=∠BDG，∵BM∥AC，∴∠CED=∠BFD，又∵∠CE′D=∠CED，∴∠BDG=∠BFD，∵∠DBF=∠GBD，∴△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD，得=，∵D為AB的中點，∴BD=AD，又∵BM∥AC，∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，在△BFD和△AED中，∵，∴△BFD≌△AED（AAS），∴BF=AE=x，∴=，∴BG=，在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，根據(jù)勾股定理得：BC==4，∵點D到直線BM的距離d=BC=2，∴S△DFG=FG?d=（BG﹣BF）?d，即y=（﹣x）2=﹣x（0＜x＜4）；（3）（i）當(dāng)點G在點F的右側(cè)時，由題意，得6=﹣x，整理，得x2+6x﹣16=0，解得x1=2，x2=﹣8（不合題意，舍去）；（ii）當(dāng)點G在點F的左側(cè)時，如圖3所示：同理得到S△DFG=FG?d=（BF﹣BG）?d，即y=x﹣（x＞4），由題意，得6=x﹣，整理，得x2﹣6x﹣16=0，解得x3=8，x4=﹣2（不合題意，舍去），綜上所述，AE的值為2或8．點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．　10．（2012?道外區(qū)一模）已知：點P為正方形ABCD內(nèi)部一點，且∠BPC=90176。AD=BD，∴CD=AD=BD，∵∠BAC=60176。得到三角形ADC為等邊三角形，由AC的長求出AD與BD的長，同時求出∠ABC=30176?！嗨倪呅蜳NMB是矩形，則MB=NP，∠MPN=90176。．∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90176。∴∠AA1D=∠BA1M=60176。∠PAA1=90176。時，點E、F與點B重合．已知AB=4，設(shè)AP=x，S=△A1BB1面積，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題．分析：（1）由旋轉(zhuǎn)角相等得到一對角相等，且兩對邊相等，可得出三角形APA1與三角形BPB1為頂角相等的等腰三角形，利用內(nèi)角和定理得到底角相等，再根據(jù)對頂角相等，等量代換得到一對角相等，又一對角為公共角，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似即可得到三角形BEF與三角形AEP相似；（2）存在，理由為：由（1）得出三角形BEF與三角形AEP相似，要使兩三角形全等，只需找出一對角相等，即BE=AE即可，此時利用等邊對等角得到一對角相等，由AB=BC，∠ABC=120176。FG=4，F(xiàn)M=4，∴GE=6，∴DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，∵+BC=DE，∴BC=DE﹣=18﹣3=15．點評：本題考查了相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的知識，難度較大．　7．（2012?路南區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120176?！嗨倪呅蜠EBH為矩形，∴∠ADC=90176?！郃B=BC=12．①∠AMN=∠B時，如圖1，△AMN∽△ABC．∵AM=4，∴S△AMN：S△ABC=AM2：AB2=42：122=1：9．②當(dāng)∠AMN=∠C時，如圖2，△AMN∽△ACB．∵AM=4，∴S△AMN：S△ABC=AM2：AC2=42：（12）2=1：27．故答案為：