【正文】 GPC，可得出CG=2BE=12，BG=8，CF=16，DF=4，過點(diǎn)P作PM∥AB交BC于點(diǎn)M．交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，由勾股定理可求出DQ的長，當(dāng)DQ=4時，由等腰三角形的性質(zhì)可求出DN的長，當(dāng)DQ=12時，過點(diǎn)N作NN1⊥QD于N1，由相似三角形的判定定理得出△QDF∽△QN1N，故可得出NN1的長，再由勾股定理即可得出DN的長．解答：解：（1）如圖1所示：過點(diǎn)P作PI⊥BC于點(diǎn)I，∵PB=PC，∴PI∥BE∥CF，∴PI是梯形BCFE的中位線，∴PI=（BE+CF），∵△PBC是等腰直角三角形，∴PI=BI=CI，∴S△PBE+S△PCF=BE?BI+CF?CI=BEBC+CF?BC=BC（BE+CF）=BC?PI=S△PBC．故答案為：S△PBE+S△PCF=S△BPC；（2）如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥EF交BC于點(diǎn)G，∠EPG=90176?！嘤晒垂啥ɡ淼?，（HQ2+HP2）+（DQ2+DF2）=PT2+TF2，即（16﹣DQ）2+122+（DQ2+42）=162+82，解得DQ=4或DQ=12，當(dāng)DQ=4時，∵DQ=DF=4，∠PQF=90176?！咚倪呅蜤FGH是正方形，∴EF=EH，∵在△BEH和△AEF中，∴△BEH≌△AEF（SAS），∴BH=AF；（2）①連接EG，∵AB=a，EH=b，∴AE=AC=a，EG=b，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，AG＞EG﹣AE，AG＜AE+EG，∴當(dāng)AG=EG﹣AE時，AG最小，AG=AE+EG時，AG最大，b﹣a≤x≤b+a；x取得最大值時，θ=135176?！唷鰾DF∽△GEC，∴=，∵BD=4，EC=9，∴EG?DF=EG2=BD?EC=49=36，∴EG=6，即正方形DEGF的邊長為6，∵正方形DEGF的邊FG∥DE，∴====，=，=，即=，=，解得MF=，NG=，∴MN=FG﹣MF﹣NG=6﹣﹣=；（3）證明：在正方形DEGF中，DE∥FG，∴CE∥NG，∴=，==，=，∴==，∴MF=?MN，NG=?MN，∴MF?NG=?MN??MN=MN2?，∵∠BAC=90176。CQ=5，∴DF=5，∴=，∠MRN=∠NFD=90176。交PA的延長線于點(diǎn)Q如圖3，連接DQ，延長CA交DQ于點(diǎn)K，若CQ=．求線段AK的長．考點(diǎn)：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）AD=BD，理由為：如圖1所示，由AB=AC及∠BAC=90176。得到∠APD=∠DCQ，再由一對對頂角相等，利用內(nèi)角和定理推出∠PDE=∠CQE，由∠ACB=∠DCQ等號兩邊都減去∠ACD，得到∠PCD=∠ACQ，可得出三角形PCD與三角形ACQ相似，由相似得比例，根據(jù)CQ的長得出CD的長，確定出a的值，進(jìn)而得出BD，AD，CF，DF的長，再由三角形FCD與三角形NCQ相似，由相似得比例，將已知的邊代入求出CN與NQ的長，在直角三角形AMD中，由∠BAD=60176?？傻贸觥螧DF=30176。∠DKM=∠QKN，∴△DMK∽△QNK，∴==，即KM=KN，∴KM=MN==，則AK=KM﹣AM=﹣=．點(diǎn)評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30176?！摺螧AC=90176?！唷螪CB+∠ACE=180176。．（1）試說明△OAN∽△OMA；（2）隨著點(diǎn)N的變化，探求△OMN的面積是否發(fā)生變化？如果△OMN的面積不變，求出△OMN的面積；如果面積發(fā)生變化，請說明理由；（3）當(dāng)△AMN為等腰三角形時，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．考點(diǎn)：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型．分析：（1）由四邊形ABOC是邊長為1的正方形可以得出∠AOC=45176?！唷螦MN=90176。．∵∠ABC=90176?！唷螦FB=90176。∠ACB=30176。兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)∠AEM=90176。S△ADG=2，則S△ABC=　18?。?）如圖②，若△ABC是直角三角形，∠A=90176。時，AD2+DE2+CE2+CM2=AE2+EM2=AM2=BM2+AB2，設(shè)CE=x，則62+（12﹣x）2+x2+32=32+122，∴，∵折痕分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G，∴；當(dāng)∠AME=90176。三種情況進(jìn)行討論，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得PH的長；（3）A、E兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)為BC邊的中點(diǎn)M，則應(yīng)分∠AEM=90176。在Rt△DNC中，由勾股定理，得DN=4，CN=4，在Rt△NGC中，由勾股定理，得NG=2，在RtNGE′中，由勾股定理，得GE′=2，NE′=4，∴CE′=4，∴x=12﹣6﹣4=2；如圖4，當(dāng)DM⊥AC于M時，∴∠AMC=90176。∴∠8=∠DAC，∴AD=DC=8．∵△BEF是等邊三角形，∴∠1=∠4=60176。時由直角三角形的性質(zhì)討論討論就可以求出x的值，從而得出結(jié)論．解答：解：（1）如圖1，作FQ⊥BC于Q，DH⊥BC于H，∴∠FQC=∠DHC=90176。且∠NAM=∠NAO+∠MAO=45176?！螩NH+∠HCN=90176。再由已知條件可證明△DPN≌△CPM，所以DN=CM=20，易證△CHN∽△DHM，所以，設(shè)CH為x，HM為（20﹣x），所以424=x（20﹣x），解方程可得CH=8或CH=12，因?yàn)閠an∠CBH=，所以再分別分①當(dāng)CH=8時和②當(dāng)CH=12時，求出符合題意的FC的值即可．解答：（1）證明：延長CN至點(diǎn)K，使NK=CN，連接DK，∵∠DCA+∠ACE=90176。AB=AC=2，∴∠B=∠C，．又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C，∠DEF=∠C，∴∠DEB=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴．設(shè)BP為x，CQ為y，∴．∴，自變量x的取值范圍是0＜x＜1；（2）∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C，∴∠AQE＞∠AEF．∴AE≠AQ．當(dāng)AE=EQ時，∴∠EAQ=∠EQA，∵∠AEQ=45176?！唷螧DF=30176?！唷鰽BC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠B=60176。所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BF，進(jìn)而表示出DF，由BP﹣BF表示出PF，再由FP+PC表示出CF，在直角三角形CFD中，利用勾股定理表示出CD，由∠APD=∠B=60176。時，則線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系為　AD=BD??；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=60176?！咴凇鱁MD和△CM′D中，∴△EMD≌△CM′D（SAS），∴EM=CM′，∠EDM=∠CDM′，∵DN平分∠MDC，∴∠MDN=∠CDN，∴∠EDN=∠M′DN，∵DE∥AC，∴∠EDN=∠M′ND，∴∠M′DN=∠M′ND，∴DM′=NM′，∴DM=NM′=CN+CM′，∴DM=CN+EM．（2）過M作MR⊥AN于R，延長MN交BC于點(diǎn)K，∵NF：FC=3：5，∴設(shè)NF=3x，CF=5x，∴NC=8x，∵DF⊥AC于F，∠C=60176。∵四邊形DEGF是正方形，∴∠C+∠CGE=90176。然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）①連接EG，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AE、EG，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知A、E、G三點(diǎn)共線，且AE+AG=EG時，AG最小，AE+EG=AG時，AG最大，然后求解即可；②根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠EAH=90176?！唷螮BP=∠BCP，∴△EPB∽△GPC，∵PC=2PB，∴=（）2=∴S△GPC=4S△EPB，同理可得S△FPC=4S△GPB，∵S△PBG+S△PGC=S△BPC，∴16S△PBE+S△PFC=4S△BPC；（3）如圖3，設(shè)正方形的邊長為a（a＞0），∵∠BPC=90176。過點(diǎn)P的直線分別交邊AB、邊CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)PC=PB時，則S△PBE、S△PCF S△BPC之間的數(shù)量關(guān)系為　S△PBE+S△PCF=S△BPC??；（2）如圖2，當(dāng)PC=2PB時，求證：16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；（3）在（2）的條件下，Q為AD邊上一點(diǎn)，且∠PQF=90176?！唷螦DC=∠ACD=60176。由BM與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠MBC=∠ACB=90176。．∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90176?！唷螩PM=∠QPN，在△MPC和△NPQ中，∵，∴△MPC≌△NPQ（ASA）． ∴PC=PQ．∴∠PQC=∠PCQ=45176。∴在Rt△PHA和Rt△BM A1中，AP=x，AH=x，AA1=x，∴A1B=AB﹣AA1=4﹣x，∴BM=A1Bsin60176。﹣，∴∠BAE=∠ABP=∠BAC﹣∠PAA1，∴β=30176。求出∠BAC的度數(shù)，表示出∠PAA1的度數(shù)，由∠BAE=∠ABP=∠BAC﹣∠PAA1，將各自的值代入即可列出兩三角形全等時，α與β滿足的關(guān)系；（3）過點(diǎn)P做PH⊥AA1于點(diǎn)H，過點(diǎn)B做BM⊥B1A1交B1A1的延長線于點(diǎn)M，如圖③所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△APB≌△A1PB1，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到∠BAP=∠B1A1P，AB=A1B1=4，由∠APA1=α=120176。點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)C不重合），連接BP．將△ABP繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0176?！唷螩DH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90176。．∴∠ANM=∠BAC．∴AM=MN=x．∵將△AMN沿MN折疊，∴∠ENM=∠ANM=30176?！郉K=EK=DE=2，∴CK=EK+EC=4，∴tan∠DCK===，CD==2，∴BD=CD=，BC=5，∴CF=，∵AE∥DK，EK=EC，∴EH=DK=1，CH=CD=，∴AH=AE﹣EH=5，∴AH=BC，由（1）得：∠DAH=∠DCB，AD=BC，在△ADH和△CDB中，∴△ADH≌△CDB（SAS），∴DH=BD=，CA==2，過F做FM∥AE交CD于點(diǎn)M，則△CFM∽△CAH，∴=，∴FM=，CM=，MH=，又∵GH∥FM，∴△DHG∽△DMF，∴，即，∴GH=．點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．　5．（2012?徐匯區(qū)校級模擬）在△OAC中，∠AOC=90176。∴∠CEF=∠BED，∠CFE=180176?！唷螦CD=45176。．∵=tan30176。=∠CAB=60176。=∠ABC=30176。將△ABC繞頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ （0176。．∴∠BFH=∠BHF．∵∠BHF=∠DHM．∴∠BFH=∠DHM．∵M(jìn)D∥BC，∴∠DMH=∠BFH．∴∠DMH=∠DHM．∴MD=HD．∴=．∴FC=HD．點(diǎn)評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是證明KD=HD和MD=HD．此題綜合性較強(qiáng)，找準(zhǔn)角之間的相等關(guān)系是解決此題的難點(diǎn)．　2．（2012?香坊區(qū)二模）已知：在△ABC中，∠ACB=90176?！螱BF+∠AFB=90176。過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，過點(diǎn)A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．（1）若∠BAC=45176。∴∠C=∠BAC=45176?！唷螩EM=∠FED∴∠CBM=∠FDC∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AC=2CD，∵AC=2BC∴CD=BC∴△CBM≌△CDF，∴BM=DF，CM=CF，∵∠MCF=90176。則∠A′CD=90176。．又∵∠ACB=90176。C，BC=B39?！摺螧′=30176。∠DCB+∠B=90176。﹣∠ACB，∵∠BAC=45176。．∵∠ABO+∠C=90176。連接AC，tan∠CAD=，過點(diǎn)D作DE⊥AB，點(diǎn)E為垂足．（1）求證：AE+BC=DE；（2）連接BD，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)F，DE與AC交于點(diǎn)G，若AG：FG=3：2，AE=6（如圖2），求線段BC的長．考點(diǎn)：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型．分析：（1）過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長線于H，由∠DEB=∠EBH=∠DHB=90176。又∵∠AED=90176。＜α＜60176。在Rt△PHA和Rt△BM A1中，利用銳角三角函數(shù)定義由x表示出AH，AA1，表示出A1B，利用銳角三角形函數(shù)定義表示出BM，三角形A1BB1為B1A1為底邊，BM為高，利用三角形的面積公式即可列出S關(guān)于x的函數(shù)解析式．解答：解：（1）∵∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，∴∠PAA1=∠PBB1=（180176。則當(dāng)△BEF≌△AEP時，β=﹣60176?！螦BD=∠DBC=∠ABC=45176。．∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90176?！唷鱉PC∽△NPQ，∴，∵PN=MB，∴，在Rt△PBM中，tan∠PBM=，在Rt△PQC中tan∠PQC=，∴tan∠PBM=tan∠PQC，∴∠PBM=∠PQC，即∠PQC=∠DBC．點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及正切函數(shù)的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．　9．（2012?上海模擬）已知：