相似三角形經(jīng)典題型-文庫吧在線文庫
【正文】 型六、綜合探究 9．如圖，AB∥CD，∠A=90176。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了?！唷螦=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90176。 ∴△ADQ∽△QCP． 【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：. 思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，. 證明：連接 ，. 在 ∴∽ ∴. 【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)． 求證：△DFE∽△ABC． 思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似． 證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線， ∴ DE=AB， 即 =． 同理 =． ∵ EF為△ABC的中位線， ∴ EF=BC， 即 =． ∴ ==． ∴ △DFE∽△ABC． 總結(jié)升華：本題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．類型三、相似三角形的性質(zhì) 5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由. 思路點(diǎn)撥：因沒有說明長4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)行討論. 解：設(shè)另兩邊長是xcm，ycm，且xy. (1)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對應(yīng)邊時，有， 從而x=cm，y=cm. (2)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段是對應(yīng)邊時，有， 從而x=cm，y=cm. (3)當(dāng)△DEF中長4cm線段與△ABC中長7cm線段是對應(yīng)邊時，有， 從而x=cm，y=cm. 綜上所述，△DEF的另外兩邊的長度應(yīng)是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能. 總結(jié)升華：一定要深刻理解“對應(yīng)”，若題中沒有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類. 6．如圖所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=. 思路點(diǎn)撥：利用已知條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長和寬，從而求出矩形的面積. 解：∵ 四邊形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵ 矩形兩鄰邊之比為1：2，設(shè)EF=xcm，則EH=2xcm. 由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，得， ∴ ，∴ ，. ∴ EF=6cm，EH=12cm. ∴ . 總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計算問題，經(jīng)常利用相似三角形“對應(yīng)高的比等于相似比”和“面積比等于相似比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒有高可以先作出高. 舉一反三 【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，若，求. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC ∴ ∵M(jìn)為DE中點(diǎn)， ∴ ∵DM∥BC ， ∴△NDM∽△NBC ∴ ∴=1：2. 總結(jié)升華：圖中有兩個“”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個“”字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個“”字形轉(zhuǎn)化到另一個“”字形，從而解決問題.類型四、相似三角形的應(yīng)用 7．如圖，我們想要測量河兩岸相對應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬) ，你有什么方法？ 方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測量CD，得到AB=CD，得到河寬. 方案2： 思路點(diǎn)撥：這是一道測量河寬的實(shí)際問題，還可以借用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條. 如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90176。 ②外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形） ③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形） （5） 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k（k0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky), 反向位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念 1．判斷對錯： (1)兩個直角三角形一定相似嗎？為什么？ (2)兩個等腰三角形一定相似嗎？為什么？ (3)兩個等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？ (4)兩個等邊三角形一定相似嗎？為什么？ (5)兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？ 思路點(diǎn)撥：要說明兩個三角形相似，要同時滿足對應(yīng)角相等，則只要否定其中的一個條件
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