曲線(xiàn)積分與曲面積分重點(diǎn)總結(jié)例題-文庫(kù)吧在線(xiàn)文庫(kù)
【正文】 取一點(diǎn)(xi, hi), 作和。t163。b), . (2)若曲線(xiàn)L的方程為x=j(y)(c163。1), 因此 . 例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線(xiàn)密度為m=1). 解 取坐標(biāo)系如圖所示, 則. 曲線(xiàn)L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (a163。于是, 變力F(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), {cost, sint}是曲線(xiàn)L在點(diǎn)(x, y)處的與曲線(xiàn)方向一致的單位切向量. 把L分成n個(gè)小弧段: L1, L2, , Ln。b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡(jiǎn)要證明: 不妨設(shè)a163。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)1. 已知為折線(xiàn)ABCOA，計(jì)算講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)作業(yè) P200: 3（1）（3）（5）（7），4167。y163。 219。 3 。 (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 。6(1), (3), (4)。a2h2. 因?yàn)? , , , 所以 . 提示: . 例2 計(jì)算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面. 解 整個(gè)邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次記為SSS3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1xy, . 小結(jié)1. 對(duì)面積的曲面積分的定義和計(jì)算2. 格林公式中的等價(jià)條件。11. 4 對(duì)面積的曲面積分一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 物質(zhì)曲面的質(zhì)量問(wèn)題: 設(shè)S為面密度非均勻的物質(zhì)曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質(zhì)量: 把曲面分成n個(gè)小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積)。0時(shí), , 所以如果(0, 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi), 則結(jié)論成立, 而當(dāng)(0, 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí), 結(jié)論未必成立. 三、二元函數(shù)的全微分求積 曲線(xiàn)積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān), 表明曲線(xiàn)積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0, y0)與終點(diǎn)(x, y)有關(guān). 如果與路徑無(wú)關(guān), 則把它記為 即 . 若起點(diǎn)(x0, y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn), 終點(diǎn)(x, y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn), 則 u(x, y)為G內(nèi)的的函數(shù). 二元函數(shù)u(x, y)的全微分為du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu), 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分. 那么在什么條件下表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x, y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？ 定理3 設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 簡(jiǎn)要證明: 必要性: 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 則有 , . 因?yàn)?、連續(xù), 所以, 即. 充分性: 因?yàn)樵贕內(nèi), 所以積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān). 在G內(nèi)從點(diǎn)(x0, y0)到點(diǎn)(x, y)的曲線(xiàn)積分可表示為 u(x, y). 因?yàn)? u(x, y) , 所以 . 類(lèi)似地有, 從而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函數(shù)的全微分. 求原函數(shù)的公式: , , . 例6 驗(yàn)證:在右半平面(x0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解: 這里, . 因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在右半平面內(nèi), 是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線(xiàn)為從A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折線(xiàn), 則所求函數(shù)為 . 問(wèn): 為什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例7 驗(yàn)證: 在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解 這里P=xy2, Q=x2y. 因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線(xiàn)為從O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折線(xiàn), 則所求函數(shù)為 . 思考與練習(xí): , 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, 那么(1)在G內(nèi)的曲線(xiàn)積分是否與路徑無(wú)關(guān)
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