【正文】 到 :h(n)={1,0,0,0,0,3,2}（ 4）作圖表循環(huán)卷積與線性卷積的性質(zhì)對比循 環(huán) 卷 積 線 性卷 積是 針對 FFT引出的一種 表示方法信號通 過線 性系 統(tǒng)時 ，信號 輸 出等于 輸 入與系 統(tǒng)單位沖激響 應 的卷 積兩序列 長 度必 須 相等 ，不等 時 按要求 補 足零 值點 。x(n)=x1(n)x2(n)且證明：因 X(k)的隱含周期性有： X(N)=X(0)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)同理可以證明：將上式中的 n換成 Nn， xep(n)=1/2[x(n)+x*(Nn)]N1()?(2)()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)減少實序列進行 DFT運算量：=利用 DFT的共軛對稱性，設計一種高效算法，通過計算一個 N點 DFT，就可以計算出兩個實序列 x1(n)和 x2(n)的N點 DFT。,即：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)當 z=ejω時， 上等間隔 32點采樣X32(k)，再對 X32(k)隔點抽取，得到 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］ 編寫 MATLAB程序驗證頻域采樣理論。?xa=0:M/2。xn=［ xa,32)。 功率譜估計、 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k), 在頻域計算的速度快得多， DFTx(n)IDFT y(n)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。L≥max［ N,用 DFT計算線性卷積框圖 每一分段卷積yk(n)的長度為 N＋ M－ 1，因此相鄰分段卷積 yk(n)與 yk＋ 1(n)有 N－ 1個點重疊，必須把重疊部分的yk(n)與 yk＋ 1(n)相加，才能得到正確的卷積序列y(n)。0,1,2,… ,L－ 1； ? 　　　說明，一般 x(n)是因果序列，假設初始條件 y－ 1(n)=0。y=fftfilt(h,計算 h(n)和 x(n)的線性卷積的 MATLAB程序如下：% 例重疊相加法的 MATLAB實現(xiàn)程序 ?hn=ones(1,% 調(diào)用 fftfilt用重疊相加法計算卷積第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 組成N+M1點序列 xi(n)， 如圖（ a） 所示。用 DFT對信號進行譜分析 　 用 DFT對連續(xù)信號進行譜分析 ? 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1）方法 實際上從工程角度看，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的 。對 xa(t)進行時域采樣 得 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 下面舉例說明截斷效應。由于ha(t)的持續(xù)時間為無窮長， 其中 ()4）譜分析參數(shù)選擇原則采樣頻率： 在已知信號的最高頻率 fc(即譜分析范圍 )時，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率 Fs滿足下式：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)例如， t4可能就是由信號的最高頻率分量形成的。min=kHz， ? 　 上面分析了為提高譜分辨率，又保持譜分析范圍不變，必須增長記錄時間 Tp，增加采樣點數(shù)。用 DFT對序列進行譜分析 ?　　 … , ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)比較 XM(k)和 X2M(k)，如果二者的主譜差別滿足分析誤差要求，則以 XM(k)或 X2M(k)近似表示　　　的頻譜，否則，繼續(xù)將截取長度加倍，直至前后兩次分析所得主譜頻率差別滿足誤差要求。對均勻分布在以原點為圓心的任何圓上的 N點　　　　　　　　　　　　　　頻率采樣，可用DFT(FFT)計算，而沿螺旋弧線采樣，則要用線性調(diào)頻Z變換 (Chirp－ Z變換，簡稱 CZT)計算。DFT(實際中用 FFT計算 )可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進行譜分析。用 DFT進行譜分析的誤差問題第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 對連續(xù)信號進行譜分析時，首先要對其采樣，變成時域離散信號后才能用 DFT(FFT)進行譜分析?；殳B現(xiàn)象第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 N點 DFT是在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上對時域離散信號的頻譜進行 N點等間隔采樣，而采樣點之間的頻譜函數(shù)是看不到的。l對連續(xù)信號的譜分析，只要采樣速率 Fs足夠高，且采樣點數(shù)滿足頻率分辨率要求，就可以認為 DFT后所得離散譜的包絡近似代表原信號的頻譜。 ?對矩形窗數(shù) w(n)=RN(n)，有第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) ? 因為截短已經(jīng)使頻譜變模糊，補零后僅使采樣間隔變小，但得到的頻譜采樣的包絡仍是已經(jīng)變模糊的頻譜，所以頻率分辨率沒有提高。 ?但在 N一定時，旁瓣幅度越小的窗函數(shù)，其主瓣就越寬。從圖 ，頻譜泄露程度與窗函數(shù)幅度譜的主瓣寬度直接相關，在第 7章將證明，在所有的窗函數(shù)中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。將 x(n)截斷后， y(n)=x(n)RN（ n)的幅頻曲線如圖 (b)所示?！?(3)　 　 對 Fs確定的情況，一般在 采樣前進行預濾波，濾除高于折疊頻率 Fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，有時希望采樣點不局限于單位圓上。1, ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　如果截取長度 M等于　　　的整數(shù)個周期，即 M=mN， m為正整數(shù)，即　令 n=n′＋ iN。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)? X(ejω)是 ω的連續(xù)周期函數(shù)。=512點。】 因此，最高頻率為 先找出相鄰的波峰與波谷之間的距離，如 圖 中 t1， t2， t3， t4?？梢园凑障旅鎯墒竭M行選擇，譜分析范圍和頻率分辨率。在對連續(xù)信號進行譜分析時，主要關心兩個問題：l這些誤差就是由于對 ha(t)截斷所產(chǎn)生的，所以通常稱之為截斷效應。0≤k≤31則采樣間隔 T=:說明了 X(k)與 Xa(jΩ)的關系 .為了符合一般的頻譜描述習慣，以頻率 f為自變量第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由此可得：()令：說明，可以通過對連續(xù)信號采樣并進行 DFT再乘以 T，近似得到模擬信號頻譜的周期延拓函數(shù)在第一個周期［ 0, fs］上的 N點等間隔采樣 。實際上對頻譜很寬的信號， 為防止時域采樣后產(chǎn)生頻譜混疊失真，可用預濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號的帶寬小于折疊頻率 。這里 x(n)和X(k)均為有限長序列。1) 重疊保留法第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 此方法與上述方法稍有不同。yn=fftfilt(hn,?zeros(1, 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 解： +cos(2πn/5)]u(n)，用重疊相加法計算 y(n)=h(n)*x(n)，并畫出 h(n)、 x(n)和 y(n)的波形。的序列　　　　　　　　　　　，實際中就是將 xi(n)的 M個值存放在長度為 M的數(shù)組中 , ?　 　 用 DFT計算分段卷積 yk(n)的方法步驟 ： 　　　 (1)x(n)為無限長序列 .將 x(n)均勻分段， 3. 重疊相加法 、 重疊保留法　　 況且在某些應用場合，序列長度不定或者認為是無限長，如電話系統(tǒng)中的語音信號和地震檢測信號等。其中 DFT和 IDFT通常用快速算法(FFT)來實現(xiàn)，故常稱其為快速卷積。()長度分別是 N和 M。 在實際應用中， h(n) 也可以在頻域計算。光學、 DFT的快速算法 FFT的出現(xiàn)， 從圖中可以看出，當采樣點數(shù) N=16M時， x16(n)確實等于原三角序列 x(n)以 16為周期的周期延拓序列的主值序列。%隔點抽取 X32k得到 X16(k)?x16n=ifft(X16k,　 %32點 IFFT［ X32(k)］得到 x32(n)?X16k=X32k(1:2:N)。512)。xb=N=32。 ?【 MATLAB例 】 ()頻域內(nèi)插公式頻域內(nèi)插函數(shù)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 解 將上式代入 X(z)的表示式中得內(nèi)插公式第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設序列 x(n)長度為 M， 才有l(wèi) ,xN(n)=IDFT［ X(k)］， 　 由 DFT與 DFS的關系可知， X(k)是 xN(n)以 N為周期的周期延拓序列　　　的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)　　　的主值序列，即 ?設任意序列 x(n)的 Z變換為：X(N－ 2)=X*(2),　　 綜上所述， DFT的共軛對稱性質(zhì) ：如果序列 x(n)的 DFT為 X(k)，則 x(n)的實部和虛部（包括 j）的 DFT分別為 X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而 x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的 DFT? 別為 X(k)的實部和虛部乘以 j。將上式中的 n換成 N/2n可得到第 3章