【正文】 ）區(qū)間的概念及表示法 ①設 ,ab是兩個實數(shù)，且 ab? ，滿足 a x b?? 的實數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，記做 [, ]ab ；滿足 a x b??的實數(shù) x 的集合叫 做開區(qū)間，記做 (, )ab ；滿足 a x b?? ，或 a x b?? 的實數(shù) x 的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 [,)ab ， (, ]ab ；滿足 , , ,x a x a x b x b? ? ? ?的實數(shù) x 的 集 合 分 別記 做[ , ) , ( , ) , ( , ] , ( , )a a b b? ? ? ? ? ? ? ?． 注意：對于集合 { | }x a x b?? 與區(qū)間 (, )ab ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必須 ab? ． （ 3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則： ① ()fx是整式時，定義域是全體實數(shù)． ② ()fx是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)． ③ ()fx是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合． ④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于 1． ⑤ tanyx? 中， ()2x k k Z??? ? ?． ⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零． ⑦若 ()fx是由有限個基本初等函數(shù)的四 則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集． 4 ⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知 ()fx的定義域為 [, ]ab ，其復合函數(shù) [ ( )]f gx 的定義域應由不等式 ()a g x b??解出． ⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論． ⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問 題的實際意義． （ 4）求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法： ①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值． ②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值． ③ 判 別 式 法 ： 若 函 數(shù) ()y f x? 可 以 化 成 一 個 系 數(shù) 含 有 y 的關于 x 的 二 次 方 程2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y? ? ?，則在 () 0ay? 時 ， 由 于 ,xy 為 實 數(shù) ， 故 必 須 有2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y? ? ? ? ?，從而確定函數(shù)的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值． ⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的， 三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為三角函數(shù)的最值問題． ⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值． ⑦數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值． ⑧函數(shù)的單調性法． 【 】函數(shù)的表示法 （ 5）函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種． 解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系． （ 6）映射的概念 ①設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法則 f ，對于集合 A 中任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，記作 :f A B? ． ②給定一個集合 A 到集合 B 的映射，且 ,a A b B??．如果元 素 a 和元素 b 對應，那么我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象． 〖 〗函數(shù)的基本性質 【 】單調性與最大（?。┲? 5 y x o （ 1）函數(shù)的單調性 ①定義及判定方法 函數(shù)的 性 質 定義 圖象 判 定方法 函數(shù)的 單調性 如果對于屬于定義域 I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x x2,當 x1 x2時，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)． x 1 x 2y= f(X )xyf( x )1f( x )2o （ 1）利用定義 （ 2）利用已知函數(shù)的單調性 （ 3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖 象上升為增） （ 4）利用復合函數(shù) 如果對于屬于定義域 I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x x2，當x1 x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)． y= f(X )yxo x x 2f( x )f( x )211 （ 1）利用定義 （ 2）利用已知函數(shù)的單調性 （ 3）利用函 數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖 象下降為減） （ 4）利用復合函數(shù) ②在公共定義域內，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)． ③對于復合函數(shù) [ ( )]y f g x? ，令 ()u g x? ，若 ()y f u? 為增， ()u g x? 為增，則 [ ( )]y f g x? 為增；若 ()y f u? 為減， ()u g x? 為減，則 [ ( )]y f g x? 為增；若 ()y f u? 為增， ()u g x? 為減，則[ ( )]y f g x? 為減；若 ()y f u? 為減， ()u g x? 為增，則 [ ( )]y f g x? 為減． （ 2）打“√”函數(shù) ( ) ( 0)af x x ax? ? ?的圖象與性質 ()fx分別在 ( , ]a??? 、 [ , )a?? 上為增函數(shù)，分別在 [ ,0)a? 、 (0, ]a 上為減函數(shù)． （ 3）最大（?。┲刀x ①一般地，設函數(shù) ()y f x? 的定義域為 I ，如果存在實數(shù) M 滿足：（ 1）對于任意的 xI? ，都有 ()f x M? ； （ 2）存在 0xI? ，使得 0()f x M? ．那么，我們稱 M 是函數(shù) ()fx 的最 大值，記作 max()f x M? ． ②一般地，設函數(shù) ()y f x? 的定義域為 I ，如果存在實數(shù) m 滿足：（ 1）對于任意的 xI? ，都有()f x m? ；（ 2）存在 0xI? ，使得 0()f x m? ．那么，我們稱 m 是函數(shù) ()fx的最小值，記作 max()f x m? ． 【 】奇偶性 6 （ 4）函數(shù)的奇偶性 ①定義及判定方法 函數(shù)的 性 質 定義 圖象 判定方法 函數(shù)的 奇偶性 如果對于函數(shù) f(x)定義域內任意一個 x，都有f(－ x)=－ f(x),那么函數(shù) f(x)叫做奇函數(shù)． （ 1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱） （ 2）利 用圖象（圖象關于原點對稱） 如果對于函數(shù) f(x)定義域內任意一個 x，都有f(－ x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)． （ 1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱） （ 2）利用圖象（圖象關于 y 軸對稱） ②若函數(shù) ()fx為奇函數(shù)，且在 0x? 處有定義，則 (0) 0f ? ． ③奇函數(shù)在 y 軸 兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在 y 軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反． ④在公共定義域內，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)． 〖補充知識〗函數(shù)的圖象 （ 1）作圖 利用描點法作圖： ①確定函數(shù)的定義域； ②化解函數(shù)解析式； ③討論函數(shù)的性質（奇偶性、單調性）； ④畫出函數(shù)的圖象． 利用基本函 數(shù)圖象的變換作圖： 要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象． ①平移變換 0,0 , |( ) ( )hhy f x y f x h??? ???????? ? ?左 移 個 單 位右 移 | 個 單 位 0,0 , |( ) ( )kky f x y f x k??? ???????? ? ?上 移 個 單 位下 移 | 個 單 位 ②伸縮變換 0 1 ,1,( ) ( )y f x y f x?? ????? ????? ? 伸縮 0 1 ,1,( ) ( )AAy f x y A f x???? ????? ? 縮伸 ③對稱變換 ( ) ( )xy f x y f x? ???? ? ?軸 ( ) ( )yy f x y f x? ???? ? ?軸 ( ) ( )y f x y f x? ???? ? ? ?原 點 1( ) ( )yxy f x y f x??? ????? ?直 線 ( ) ( | | )yyyy f x y f x? ???????????????? ? 去 掉 軸 左 邊 圖 象保 留 軸 右 邊 圖 象 ， 并 作 其 關 于 軸 對 稱 圖 象 7 ( ) | ( ) |xxy f x y f x? ?????????? ? 保 留 軸 上 方 圖 象將 軸 下 方 圖 象 翻 折 上 去 （ 2）識圖 對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系． （ 3）用圖 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究 數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數(shù)形結合解題的思想方法． 第二章 基本初等函數(shù) (Ⅰ ) 〖 〗指數(shù)函數(shù) 【 】指數(shù)與指數(shù)冪的運算 （ 1）根式的概念 ①如果 , , , 1nx a a R x R n? ? ? ?，且 nN?? ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．當 n 是奇數(shù)時， a 的 n 次方根用符號 na 表示；當 n 是偶數(shù)時，正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號 na 表示，負的 n 次方根用符號 na?表示； 0 的 n 次方根是 0；負數(shù) a 沒有 n 次方根． ②式子 na 叫做根式，這里 n 叫做根指數(shù)， a 叫做被開方數(shù)．當 n 為奇數(shù)時， a 為任意實數(shù)；當 n 為偶數(shù)時， 0a? ． ③根式的性質： ()nn aa? ；當 n 為奇數(shù)時， n naa? ；當 n 為偶數(shù)時， ( 0 )|| ( 0 ) n n aaaa aa ???? ????． （ 2）分數(shù)指數(shù)冪的概念 ①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是： ( 0 , , ,m n mna a a m n N ?? ? ?且 1)n? ． 0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0． ②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是： 11( ) ( ) ( 0 , , ,mm mnn na a m n Naa? ?? ? ? ?且 1)n? ． 0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)． （ 3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質 ① ( 0 , , )r s r sa a a a r s R?? ? ? ? ② ( ) ( 0 , , )r s r sa a a r s R? ? ? ③ ( ) ( 0 , 0 , )r r ra b a b a b r R? ? ? ? 【 】指數(shù)函數(shù)及其性質 （ 4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù) 定義 函數(shù) (0xy a a??且 1)a? 叫做指數(shù)函數(shù) 圖象 1a? 01a?? 0 1 xay?xy(0,1)O1y?0 1 xay?xy(0,1)O1y? 8 定義域 R 值域 (0, )?? 過定點 圖象過定點 (0,1) ，即當 0x? 時， 1y? ． 奇偶性 非奇非偶 單調性 在 R 上是增函數(shù) 在 R 上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xxxaxaxax?????? 1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xx