【正文】 比例函數(shù)為 xky? ，因為它的圖象經(jīng)過點 A，把點 A 的坐標(biāo)（ 2， 6）代入函數(shù)解析式，得 26 k? ，解得 k=12，所以這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為 xy 12? ． y A B O x C 第 2 題 七年級數(shù)學(xué)（八） 第 28 頁 共 98 頁 因為 k＞ 0，所以這個函數(shù)的圖象在第一、第三象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小 ． （ 2）把點 B、 C 和 D 的坐標(biāo)代入 xy 12? ，通過計算可知點 B、點 C 的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式 ， 點 D 的坐標(biāo)不滿足函數(shù)關(guān)系式，所以點 B、點 C 在函數(shù) xy 12? 的圖象上，點 D 不在函數(shù)的圖象上 ． 歸納提煉 求反比例函數(shù)解析式常用的方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)反比例函數(shù)解析式為 xky? ，因為其中只有一個待定系數(shù)，所以只需要一個能反映其圖象上某一點橫、縱坐標(biāo)關(guān)系的條件即可 ．確定好函數(shù)解析式后，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，便可明確雙曲線兩支的分布情況，以及函數(shù)值隨自變量的變化情況． 問題 2 若點 A（－ 2， a）、 B（－ 1， b）、 C（ 3， c）在反比例函數(shù) xky? （ k＜ 0）的圖象上，則 a、 b、c 的大小關(guān)系怎樣？ 名師指導(dǎo) 由 k＜ 0 可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大，因為 A、 B 在第二象限，且－ 1＞－ 2，故 b＞ a＞ 0；又 C 在 第四象限，則 c＜ 0，所以 b＞ a＞ 0＞ c． 歸納提煉 由于雙曲線的兩個分支分別位于兩個不同的象限內(nèi)，因此函數(shù)值 y 隨自變量 x 變化的增減性就不是連續(xù)的，一定要強(qiáng)調(diào)“在每一象限內(nèi)”，否則，如果籠統(tǒng)說 k＜ 0 時， y 隨 x 的增大而增大，本題就會誤認(rèn)為 3最大，則 c 最大，從而出現(xiàn)錯誤 ． 另外，此題還可以畫出函數(shù)圖象（草圖即可），比較 a、 b、 c 的大小，利用圖象更加直觀易懂，不易出錯，應(yīng)注意掌握并學(xué)會使用 ． 問題 3 如圖，一次函數(shù) y kx b??的圖象與反比例函數(shù) xmy? 的圖象交于 A（－ 2， 1）、 B（ 1， n）兩點 ． （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （ 2）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的 x 的取值范圍 ． 名師指導(dǎo) （ 1）因為 A 點在反比例函數(shù)的圖象上，可先由點 A（－ 2， 1）求出反比例函數(shù)的解析式 xy 2?? ，又由 B 點在反比例函數(shù)的圖象上，把 B（ 1， n）代入解析式即可求出 n 的值，最后再由 A、 B 兩點坐標(biāo)代入解析式 y kx b??求出一次函數(shù)解析式 y＝－ x－ 1． （ 2）根據(jù)圖象以 及已知條件可得 x 的取值范圍 x＜－ 2 或 0＜ x＜ 1，這是因為比較兩個不同函數(shù)的值的大小時，就是看這兩個函數(shù)圖象在同一段 x 的取值范圍內(nèi)，哪個在上方，哪個在下方 ． 歸納提煉 對于一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點，從 形 ． 的角度理解，是指交點既在直線上，同時也在雙曲A O y x B 七年級數(shù)學(xué)（八） 第 29 頁 共 98 頁 線上；從 數(shù) ． 的角度理解，交點的坐標(biāo)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立所組成的二元方程組的解．所以，如果兩個函數(shù)圖象有交點，則聯(lián)立所成方程組有解；反之，若兩個函數(shù)圖象無交點，則聯(lián)立方程組無解． 此外，對于某些特殊情況，也可從一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限及反比例函數(shù)圖象的象限 分布情形分析兩個函數(shù)圖象有無交點．如函數(shù) 3yx? 與 2y x?? 的圖象就不存在交點，因為正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限，反比例函數(shù)的圖象則位于二、四象限． 問題 4 如圖，點 A、 B 在反比例函數(shù)的圖象上，點 A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 a， 2a（ a＞ 0）， AC⊥ x 軸，垂足為點 C，且 △ AOC 的面積為 2． （ 1）求該反比例函數(shù)的解析式； （ 2）若點（－ a， y1），（－ 2a， y2）在該反比例函數(shù)的圖象 xky? 上，試比較 y1與 y2的大小 ． 名師指導(dǎo) 根據(jù) Rt△ AOC 的面積 1 22S O C AC??，可知 4AAxy? ． 又因為點 A 在雙曲線上，所以 AAx y k? ，由此可求出反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)， k＞ 0， y 隨 x 的增大而減小可知，自變量 x越大，函數(shù)值反而越小，通過比較－ a 與－ 2a 的大小可知 y1與 y2的大小 ． 解題示范 解：（ 1）解：因為點 A 在反比例函數(shù) xky? 的圖象上，設(shè) A 點的坐標(biāo)為（ a ， ak ） ． ∵ a＞ 0， k＞ 0，∴ AC=ak ， OC=a ． 又∵ 1 22AOCS O C A C? ??，∴ 1 22 ka a? ， 4k? ， xy 4? ． 即反比例函數(shù)的解析式為 xy 4? ． （ 2）∵ A 點， B 點橫坐標(biāo)分別為 a， 2a（ a＞ 0），∴ 2a＞ a，即－ 2a＜－ a＜ 0． 由于點（－ a， y1）、（－ 2a， y2）在雙曲線上，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng) k＞ 0 時， y 隨 x 的增大而減小，可知 y1＜ y2． 【 自主檢測 】 1． 已知點 A（－ 2， a）在 反比列函數(shù) 2y x? 的圖像上，則 a = _______． 2． 已知反比例函數(shù) xmy 23 ?? ，當(dāng) m 的取值范圍是 時，其圖象的兩個分支在第一、三象限內(nèi)；當(dāng) m 的取值范圍是 時，其圖象在每個象限內(nèi) y 隨 x 的增大而增大 ． 3． 若直線 )0( 11 ?? kxky 和雙曲線 0)(22 ?? kxky在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象無交點，則 1k 、 2k 的關(guān)系O C A B x y 七年級數(shù)學(xué)（八） 第 30 頁 共 98 頁 是 ______ _ _． 4． 若反比例函數(shù) xky 3?? 的圖象位于一、三象限內(nèi)，正比例函數(shù) xky )92( ?? 過二、四象限，則 k 的整數(shù)值是 ___ __ ___． 5． 已知函數(shù) x ayaxy ??? 4和 的圖象有兩個交點，其中一個交點的橫坐標(biāo)為 1，則這兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)是 ． 6． 在函數(shù) xky 22 ??? （ k 為常數(shù)）的圖象上有三個點（－ 2， 1y ）， (－ 1， 2y )，（ 21 ， 3y ），那 么函數(shù)值 1y ， 2y ， 3y 的大小為 ． 7． 當(dāng) k ＞ 0,x ＜ 0時，反比例函數(shù) xky? 的圖象在 （ ） 8． 已知反比例函數(shù) )0( ?? kxky 的圖像上有兩點 A(1x ， 1y )， B( 2x ， 2y )，且 21 xx? ，則 21 yy? 的值 ( ) A. 是正數(shù) B. 是負(fù)數(shù) C. 是非正數(shù) 9． 為緩解高層住宅樓居民的用水難問題，某高樓需向高層屋頂?shù)乃渥⑺?，水對水箱底部的壓?qiáng) p 與水深 h 的函數(shù)關(guān)系的圖象是（說明：水箱能 容納的水的最大深度為 H） ( ) 10． 如圖所示， A（ 1x ， 1y ）、 B（ 2x ， 2y ）、 C（ 3x ， 3y ）是函數(shù) xy 1? 的圖象在第一象限分支上的三個點，且 1x ＜ 2x ＜ 3x ，過 A、 B、 C 三點分別作坐標(biāo)軸的垂線，得矩形 ADOH、 BEON、 CFOP，它們的面積分別 為 S S S3，則下列結(jié)論中正確的是 （ ） S2S3 B． S3 S2 S1 C． S2 S3 S1 D． S1=S2=S3 11． 已知反比例函數(shù) 2 6( 2) ay a x ??? ，當(dāng) x＞ 0時 ， y 隨 x 的增大而增大，求這個函數(shù)關(guān)系式． 12．已知反比例函數(shù) xky 12 ?? 的圖象在每個象限內(nèi)函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而減小，且 k 的值還滿足p p p p A. B. C. D. 第 10 題 七年級數(shù)學(xué)（八） 第 31 頁 共 98 頁 )12(29 ?? k ≥ 2k－ 1，若 k 為整數(shù)，求反比例函數(shù)的解析式． 13．已知一次函數(shù) bkxy ?? 的圖像與反比例函數(shù) xy 8?? 的圖像交于 A、 B 兩點，且 A 點的橫坐標(biāo)和 B點的縱坐標(biāo)都是－ 2． （ 1）求一次函數(shù)的解析式； （ 2）求△ AOB 的面積． 【自主評價】 一、 自主檢測提示 3．方法一：將兩個函數(shù)聯(lián)立為方程組，經(jīng)過變形可化得 2 21kx k? ，兩個函數(shù)圖象沒有交點，所以方程2 21kx k? 無解，即 21kk ＜ 0，從而得出 1k 、 2k 的關(guān)系是異號 ． 5．因為兩個函數(shù)有 一個交點的橫坐標(biāo)為1， 把 1x? 分別代入兩個函數(shù)解析式，聯(lián)立而成一個關(guān)于 a 和 y 的二元方程組，解方程組． 8．利用反比例函數(shù)圖象或根據(jù)反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，比較 1y 、 2y 大小即可 ． 12．因為 反比例函數(shù) xky 12 ??的圖象在每個象限內(nèi)函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而減小 ，所以 21k? ＜ 0，再與已知條件中的不等式組成不等式組，求出解集，并取整數(shù)值 ． 13．（ 1）根據(jù)點 A 的橫坐標(biāo)和點 B 的縱坐標(biāo)都是－ 2，可先由反比例函數(shù)解析式求出點 A、 B 的坐標(biāo)，再由點 A、 B 的坐標(biāo)求出一次函數(shù)解析式；（ 2）△ AOB 可以由兩部分相加得到，以原點和直線與 x 軸或 y 軸的交點為端點的線段為底，可分別求出兩個同底三角形的面積，然后相加即可． 二、自我反思 1． 錯因分 析 2． 矯正錯誤 3． 檢測體會 y x O A B 七年級數(shù)學(xué)（八） 第 32 頁 共 98 頁 4． 拓展延伸 隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，計算機(jī)在我們的學(xué)習(xí)和研究中起的作用越來越大，借助一些電腦軟件，如《幾何畫板》可以解決許多單純靠手工無法完成的問題，可以發(fā)現(xiàn)一些以往難以發(fā)現(xiàn)的新東西 ．利用這種軟件，就更容易發(fā)現(xiàn)： （ 1）雙曲線 ky x? 關(guān)于直線 yx?? 對稱； （ 2）雙曲線 ky x? 隨著 k 的增大，相對于原點的位置就越來越遠(yuǎn)． 【 例題 】如圖，點 A（ 6， m）是雙曲線 12y x? 上的一點，過點A 作直線 y=x 的垂線，交雙曲線于另一點 B， O 為坐標(biāo)原點為， 求△ AOB 的面積． 【 點撥 】將點 A 的坐標(biāo)代入雙曲線的解析式，可求出 A 點的坐標(biāo)為（ 6， 2）．由于雙曲線是關(guān)于直線 yx? 對稱的，故點 B 的坐標(biāo)與點 A 關(guān)于直線 yx? 對稱，從而點 B 的坐標(biāo)為（ 2， 6）．作 AM⊥x 軸于 M， BN⊥ y 軸于 N，根據(jù) AO B BO N AM N B AO MS S S S? ? ?? ? ?可求出△ AOB 的面積． 答案： △ AOB 的面積為 16． 第七講 反比例函數(shù) 實際問題與反比例函數(shù)（一） 【 自主領(lǐng)悟 】 1． 寒假期間，小明正與幾個同伴在結(jié)冰的河面上溜冰，突然發(fā)現(xiàn)前面有一處冰面出現(xiàn)了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐著離開了危險區(qū)．你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？ 2． 京沈高速公路全長 658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程所需時間 t（ h）與行駛的平均速度 v（ km/h）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ． 3． 完成某項任務(wù)可獲得 500 元報酬，考慮由 x 人完成這項任務(wù)，試寫出人均所得報酬 y（元）與人數(shù) x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式 ． 4． 請回答下列問題： （ 1）已知某矩形的面積為 20cm2，那么它的長 y 與寬 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為 ． （ 2） 當(dāng)矩形的長為 12cm 時，求寬為多少？當(dāng)矩形的寬為 4cm，求其長為多少？ （ 3）如果要求矩形的長不小于 8cm，其寬至多要多少？ A B O N M x y y=x 七年級數(shù)學(xué)（八） 第 33 頁 共 98 頁 5． 一定質(zhì)量的氧氣， 它的密度 ? （ kg/m3）是它的體積 V（ m3）的反比例函數(shù)，當(dāng) V＝ 10 時， ? ＝ ，（ 1）求 ? 與 V 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）求當(dāng) V＝ 2 時氧氣的密度 ? ． 【 自主探究 】 問題 1 如圖，某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為 1 升 (1 升＝ 1 立方分