[理學(xué)]第三章圖像變換-文庫吧在線文庫
【正文】 葉變換 這里 f(x)是實(shí)函數(shù) ， 它的傅立葉變換 F(u)通常是復(fù)函數(shù) 。 一般要求： ① 正交變換必須是可逆的； ② 正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜； ③ 正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上 ， 邊緣 、 線狀信息反映在高頻率成分上 ，有利于圖像處理 。 數(shù)學(xué)上，點(diǎn)源可以用狄拉克 δ 函數(shù)來表示，二維 δ 函數(shù)定義為： 且滿足： ??? ???? 00,0),( yxyx?01),(),( ??? ???????????dx dyyxdx dyyx狄拉克 δ函數(shù)性質(zhì)： (1) δ 函數(shù)為偶函數(shù)，即 ),(),( yxyx ?? ???? ???? ??? ??? ??????? ddyxfyxf ),(),(),(),(*),(),( yxyxfyxf ??),(*),(),( ????? ????? yxyxfyxf(2) 位移性 或用卷積符號 *表示為 (3)可分性 )()(),( yxyx ??? ?因此有 (5)篩選性 ),(),(),( ????? fdx dyyxyxf ???????當(dāng)且僅當(dāng) α ＝ β ＝ 0時 ????? dx dyyxyxff ),(),()0,0( ?(4)乘積性 ),(),(),(),( ???????? ????? yxfyxyxf頻域世界與頻域變換 任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和 ( a )( b )( c )( d ) 二維線性位移不變系統(tǒng) 滿足此條件的運(yùn)算稱為二維線性運(yùn)算，由它描述的系統(tǒng)稱為二維線性系統(tǒng)。如果 f(x， y)是連續(xù)和可積的，且 F(u， v)是可積的，則二維傅立葉變換對為 ? ???? ????????????)(),(),()(),(),()(2)(2dudvevuFyxfdx dyeyxfvuFvyuxjvyuxj?? 二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為： |F(u， v)∣ =[R2(u， v)+I2 (u， v)]1/2 φ(u， v)=tan1 [I(u， v)／ R(u， v)] E(u， v)=R2(u， v)+I2(u， v) 例：求如圖所示的函數(shù)的傅立葉譜 ????? ?????o t h e rYyXxAyxf00,0),(x y f(x,y) A YvyjXuxjxxYvyjXuxjYvyjXuxjvyuxjvyuxjevjeujAdxccxdandedxevjvyjdeujuxjdeAdyedxeAd x d yeAd x d yeyxfvuF020202020202)(2)(2212)(2)2(2)2(),(),(????????????????????????????????????????????????????? ?? ??vYvYeuXuXeA X YXjeevYjevjuXjeujAeeevjeeeujAevjeujAvYjuXjjXjXvYjuXjuXjuXjuXjuXjuXjuXjvYjuXj????????????????????????)s i n ()s i n (s i n2))s i n (2(21))s i n (2(2)(21)(2)1(21)1(222?????????????????????????????????????????歐拉公式：?|)s i n(||)s i n(||),(| πv Yπv YπuX πuXA X YvuF ?其傅立葉譜為： 離散函數(shù)的傅立葉變換 假定取間隔△ x單位的抽樣方法將一個連續(xù)函數(shù)f(x)離散化為一個序列 {f(x0)， f(x0+△ x)， … ， f[x0+(N1)△ x]}，如圖所示。 ? 圖像的頻率 是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的 梯度 。 一般來說 ， 對一幅圖像進(jìn)行傅立葉變換運(yùn)算量很大， 不直接利用以上公式計算 。 2）收斂慢，在圖像編碼應(yīng)用中尤為突出。 ?????????????????10)()x(1010)()x(11)1()(1)()1(1),(niubbNxniubbiniinixfNuwNuxg則 沃爾什變換核形成的數(shù)組時一個對稱矩陣，它的行和列是正交的。其中 bk(z)是 z的二進(jìn)制表示的第 k位值。 ????? 10 2)12(c os)()()( Nx NuxxfuCuF ?式中， u, x=0, 1, 2, …, N－ 1 NuxuCuxg2)12(c os)(),( ??? 將變換式展開整理后， 可以寫成矩陣的形式， 即 : F=G f 其中 ?????????????????????????)2/)12)(1c o s ( ()2/3)(1c o s ( ()2/)1c o s ( ()2/)12c o s ( ()2/6c o s ()2/c o s ()2/)12c o s ( ()2/3c o s ()2/c o s (111NNNNNNNNNNNNNNNG?????????????? 一維 DCT的逆變換 IDCT定義為 : ????? 10 2)12(c os)()()( Nu NuxuFuCxf ? 式中 x, u=0,
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