【正文】 函數(shù)。 Mallat 是最早從事小波在信號(hào)處理中的應(yīng)用的研究者之一 ，他提出的利用小波 變換模極大值原理進(jìn)行信號(hào)去噪的方法是小波去噪中最經(jīng)典的方法。在該算法的實(shí)現(xiàn)過程中 ，噪聲能量的估計(jì)非常關(guān)鍵。 Nowak 等人 1999 年提出了針對(duì)光子圖像系統(tǒng)的小波變換域?yàn)V波算法，在該系統(tǒng)中的噪聲屬于Poisson 噪聲 Nowak 提出了 PRESS最優(yōu)非線性小波濾波方法 ，根據(jù)圖像局部區(qū)域的大小，來(lái)調(diào)整 PRESS最優(yōu)濾波器 ，使其與 Poisson 噪聲的方差水平相匹配。 Jansen 提出了對(duì)于重噪聲的最小風(fēng)險(xiǎn)閾值方法。介紹小波變換消噪的 優(yōu)勢(shì)、原理以及基函數(shù)的選取問題。小波分析，是泛函分析、傅里葉分析及數(shù)值分析等多個(gè)學(xué)科相互交叉、相互融合的結(jié)晶。隨著小波理論的不斷完善，它的應(yīng)用領(lǐng)域也越來(lái)越廣泛。傅 立 葉變換反映不出信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào) ，即時(shí)變信號(hào)，它只能給出一個(gè)總的平均效果。加窗傅里葉變換發(fā)展了傅里葉變換 ，能夠滿足信號(hào)處理的某 些特殊需要。可以看出當(dāng) a 減小時(shí)，時(shí)域?qū)挾葴p小，而頻域?qū)挾仍龃?，而?b 的窗口中心向 ? 增大方向移動(dòng)。從 頻率域的角度來(lái)看，小波 變換已經(jīng)沒有像傅 立 葉變換那樣的頻率點(diǎn)的概念 ，取而代之的是本質(zhì)意義上的頻 帶概念 ，從時(shí)間域來(lái)看，小波變換所反映的也不再是某個(gè)準(zhǔn)確的時(shí)間點(diǎn)處的變化， 而是體現(xiàn)了原信號(hào)在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)的變化情況。對(duì)連續(xù)小波而言，若采用的小波滿足可容許性條件，則其逆變換存在，即根據(jù)信號(hào)的小波變換系數(shù)就可以精確地恢復(fù)原信號(hào)，并滿足連續(xù)小波變換的逆變換公式： dba btabaWTadaCtx x )(1),(1)( 0 2 ?? ?? ?????? ?? (216) 其中 ???? ? ?? daaawC02)(?。 一個(gè)函數(shù) ? ?RL2?? 稱為一個(gè) R函數(shù)，如果 ? ?Zkjkj ?,?在下述意義上是一個(gè) Risez 基：Zkjkj ?,? 的線性張成在 ??RL2 中是稠密的，并且存在正常數(shù) A與 B， ???? BA0 ，使 ? ? ? ? 2,22,2, 22 lkjj k kjkjlkj cBccA ?? ? ?????????? 對(duì)所有二重雙無(wú)限平方可和序列 ? ?kjc, 成立，即對(duì)于 ? ? ??? ? ?????????2,2, 2 j k kjlkj cc的? ?kjc, 成立。 本章小結(jié) 小波分析來(lái)源于傅里葉分析 ，它不能代替傅里葉分析，它是傅里葉分析的新 發(fā)展 ，二者的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)和相輔相成的良好效果已被科研實(shí)踐所證實(shí)，對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間 內(nèi)比較穩(wěn)定的信號(hào) ，用傅里葉分析比較適合，小波變換由于具有時(shí) 頻局部化， 具有自適應(yīng)性 ，在低頻段采用高的頻率分辨率和低的時(shí)間 分辨率 ，在高頻段采用 低的頻率分辨率和高的時(shí)間分辨率 ，非常適合于分析有突變的信號(hào)。最常用的分解就是加性分解，即 )()()( xnxfxg ?? (31) 例如，高斯噪聲就常常被認(rèn)為是加性結(jié)構(gòu)的。注意，對(duì)于單個(gè)隨機(jī)變量不需要它們自己有高斯分布函數(shù)，也不需要是同分布。 重尾噪聲的一個(gè)有趣、應(yīng)該熟悉的例子是在暴風(fēng)雷電的天氣下由微弱廣播調(diào)幅電臺(tái)所產(chǎn)生的靜電干擾。 （ 4） 均衡和量化噪聲 量化噪聲產(chǎn)生于連續(xù)隨機(jī)變量被轉(zhuǎn)換成離散型的過程或者離散隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成另一個(gè)更少等級(jí)的離散隨機(jī)變量過程。密度明顯的分級(jí)的地方就會(huì)丟失。當(dāng) ? 值很大的時(shí)候，就能夠用到中心極限定理。則發(fā)生改變的微粒數(shù) N 就是一個(gè)二項(xiàng)分布 kLk ppkLkN ???????????? )1()P r( (35) 因?yàn)?L 很大，當(dāng) p 很小但是 ENNp ??? 適中， 該概率就可以用泊松分布很好的近似 !)P r( kekN ????? (36) 且當(dāng) p 更大的時(shí)候也可以用高斯分布近似。 IN 的方差也是 ? 因此其均方差是 ? 。其中的 一些相位變化對(duì)原信號(hào)補(bǔ)充加強(qiáng)，也有些卻適得其反，使得信號(hào)減弱。一旦估計(jì)完成，散斑就可以被消除，得到無(wú)模糊圖像。在這種條件下，假設(shè) En=0， 無(wú)偏估計(jì)的必要條件就是 ? ?yx yxa, 1),(。當(dāng) Q=O 時(shí)，逆諧波均值濾波器蛻變?yōu)樗阈g(shù)均值濾波器，當(dāng)Q=一 1 時(shí)，它蛻變?yōu)橹C波均值濾波器。 經(jīng)典去噪方法 圖像的頻域去燥是對(duì)圖像進(jìn)行某種變換，將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻域，然后對(duì)頻域中的變換系數(shù)進(jìn)行處理，最后反變換將圖像從頻域轉(zhuǎn)換到空間域來(lái)達(dá)到去噪的目的。 下面介紹幾種常用的 低通濾波器 : （ 1）理想低通濾波器 (ILPF) 一個(gè)理想的低通濾波器的傳遞函數(shù)由下式表示 00),( ),(01{),( DvuD DvuDvuH ??? (321) 其中 0D 是一個(gè)規(guī)定的肺腑的量，稱為理想低通濾波器的截止頻率。它將數(shù)值分析、 矩陣計(jì)算 、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非 線性 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 建模 和仿真等諸多 強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué) 領(lǐng)域 提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如 C、 Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平 。 第四章 小波閾值去噪及 MATLAB 仿真 小波閾值去噪概述 在數(shù)學(xué)上 ，小波去噪問題的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題，即如何在有小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對(duì)原圖像的最佳 逼近 ，以完成原圖像和噪聲的區(qū)分。 估計(jì)小波系數(shù)的方法如下，取： )log(2 N?? ? (46) 定義： ??????kjkjkjkj WWWW, ,0 ,{ (47) 稱之為硬閾值估計(jì)方法。這是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡(jiǎn)單，就是對(duì)小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。 （ 1） 閾值獲取 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有 ddencmp、 select、 wbmpen 和 wdcbm2。,X,39。,C,L,39。 N 表示小波分解的層數(shù)。 s ( t ) 小波變換 閾值處理 信號(hào)重構(gòu) s ( t ) 42 小波閾值去噪流程圖 小波閾值去噪方法除了閾值函數(shù)的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是對(duì)閾值的具體估計(jì)。 （ 2）強(qiáng)制消噪處理。下面介紹幾種經(jīng)典的閾值估計(jì)方法。 通用閾值方法雖然有很好的理論支持，但實(shí)際應(yīng)用效果并不好，其根本原因在于這一準(zhǔn)則是用漸進(jìn)分析的手段推出來(lái)的，但對(duì)于實(shí)際問題，信號(hào)或圖像的復(fù)雜性相對(duì)于樣本尺寸是很重要的。具體的閾值選取規(guī)則為： ? ?320 32l { 2 ???? nnn?? (418) 其中 n 為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)， ? 為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。 （ 2） 小波基的選取 小波基的選取在對(duì)小波系數(shù)作量化或閾值的過程中，不可避免的要引入誤差，而小波的正則性對(duì)這個(gè)誤差的影響是比較大的。 得到去噪前后現(xiàn)象的比較如圖 43所示，從圖中可以看出小波閾值去噪法的效果比較明顯（所得信號(hào)越接近于初始信號(hào)，去噪效果越好）。 Sureshrink 閾值的具體計(jì)算過程如下： ①求取信號(hào)的長(zhǎng)度 N； ②將某一層的小波系數(shù)的平方由小到大排列，得到一個(gè)新的向量 ? ?,......, 21 xxX ? ，其中 ??? 21 xx ， N 為小波系數(shù)的個(gè) 數(shù)； ③計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)向量 ? ?,......, 21 rrR ? ，其中 N xxiNiNrik kii ??????? 1)(2 (414) ④以 R 中的最小元素 Br 作為風(fēng)險(xiǎn)值，由 Br 的相應(yīng)位置 B 求出對(duì)應(yīng)的 Bx 則 ，SureShrink 閉值為 ? ?21Bn x?? ?。這個(gè)閾值由于與信號(hào)的長(zhǎng)度尺寸對(duì)數(shù)的平方根成正比，所以當(dāng) N 較大時(shí)，閾值趨向于將所有小波系數(shù)置零，此時(shí)小波濾噪器退化為低通濾波器。在實(shí)際的消噪過程中，閾值往往可通過經(jīng)驗(yàn)獲得，且這種閾值比默認(rèn)值的可信度高。 1992 年 Donoho 和 Johnstone 給出了小波閾值法的 )ln(2 Nthr ?? 并且從漸進(jìn)意義上證明了 WaveShrink 的最優(yōu)性，與此同時(shí) Krim 等人也得到了相同的閾值公式，此后小波閾值法被用到各種去噪應(yīng)用中，并取得了很大的成功，對(duì)高斯噪聲尤其如此。 XC 是降噪后的信號(hào)， [CXC,LXC]是 XC 的小波分解結(jié)構(gòu)，PHRF0 和 PERFL2 是恢復(fù)和壓縮 2L 的范數(shù)百分比。它使用小波對(duì)信號(hào)或圖像執(zhí)行降噪過程。,X,39。 其語(yǔ)法格式為 [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（ IN1， IN2， X） [THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（ IN1，‘ wv’ ， X） [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（ IN1，‘ wp’ ， X） （ 2） 閾值降噪 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有 wden、 wdencmp、 wpdencmp、 wthresh、 wpthcoef 和 wthcoef2。 小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。通常有兩種方法 ， 一種是作為觀察者的主觀評(píng)價(jià) ， 由人眼直接觀察圖像的效果 ， 當(dāng)然它是一種定性的方法 ， 要受人的主觀因素影響 ， 評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性 。 特征提取 低通濾波帶噪信號(hào)特征信息重建信號(hào) 圖 41 小波去噪的等效框圖 小波閾值去噪方法 小波閾值去噪的基本思路是： （ 1） 先對(duì)含噪信號(hào) f(k)做小波變換，得到一組小波系數(shù) kjW, ； （ 2） 通過對(duì) kjW, 進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)系數(shù) kjW,? ， 使得 kjW,? 與 kjW, 兩者的差值盡可能?。? （ 3）利用 kjW,? 進(jìn)行 小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號(hào) f(k)即為去噪后的信號(hào)。 MATLAB 的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用 MATLAB 來(lái)解算問題要比用 C， FORTRAN 等語(yǔ)言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多，并且 MATLAB 也吸收了像 Maple 等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使 MATLAB 成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件 。 Matlab 工具 Matlab 發(fā)展歷程 20 世紀(jì) 70 年代，美國(guó)新墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任 Cleve Moler 為了減輕學(xué)生編程的負(fù)擔(dān)，用 FORTRAN 編寫了最早的 MATLAB。 定義二維離散傅立葉信號(hào) .. .}.. .2,1),({ ?xyxf 的傅立葉變換對(duì)為 ? ??????????? ??? 10102),(1),( MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF ? (318) ? ??????????? ?? 10102),(1),( MxNyNvyMuxjevufMNyxf ? (319) 其中 .......}1,0{, ?xu ， .......}1,0{, ?yv 。最大值濾波器在發(fā)現(xiàn)圖像中的最亮點(diǎn)時(shí)非常有用，同時(shí)特別適用于濾除椒鹽噪聲；而最小濾波器在發(fā)現(xiàn)圖像中的最暗點(diǎn)時(shí)非常有用，同時(shí)特別適用于濾除鹽噪聲。令 xys 表示中心為點(diǎn) （ x,y） 尺寸為 nm? 的矩形圖像窗口 ,下面列出了各種濾波器的 I/O 方程： 算數(shù)均值濾波器： ??? ?xyststsgmnyxf , ),(1),( (310) 幾何均值濾波器： mnsts tsgyxf xy1),( ),(),( ?????? ???? (311) 諧波均值濾波器： ??? ?xysts tsgmnyxf),( ),(1),( (312) 逆諧波均值濾波器： QstsQstsxyxytsgtsgyxf ?????? ?,1,),(),(),( (313) 算術(shù)均值濾波器簡(jiǎn)單地平滑了一幅圖像的局部變化，在模糊了結(jié)果的同時(shí)減少了噪聲。而濾波器的輸出為恢復(fù)后的圖像 f(x,y)即原始圖像 f(x,y)的近似估計(jì)。如果求恒星多圖的平均，那么將會(huì)得到模糊的圖像。 (8) 散斑 散斑是更復(fù)雜的圖像噪聲模型之一。這些電子完全被