函數(shù)近似計(jì)算的插值法插值問題的提出及l(fā)agrange插值(存儲(chǔ)版)
【正文】 +1個(gè) 節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)作線性插值 Lagrange線性插值基函數(shù) (一次插值 )為 Lagrange線性插值多項(xiàng)式為 0 1 0 1, , ,x x f f節(jié) 點(diǎn) 函 數(shù) 值101xxxx???0()lx 1()lx 010xxxx???1 0 0 1 1( ) ( ) ( )L x l x f l x f??1001xx fxx???0110xx fxx???例 2. ).175(1 fL a g r a n g e 中的線性插值多項(xiàng)式求例用之間與在由于插值點(diǎn) 225169175 21 ??? xxx解 : 為插值節(jié)點(diǎn)與因此取 225169 21 ?? xx)(1 xl212xxxx???56225??? x)(2 xl121xxxx???56169?? xLagrange插值基函數(shù)為 )175(f5622517513????5616 917 515 ???712 8 52 1 ?所以 1 1 1 2 2( ) ( ) ( )L x f l x f l x?? 5622513 ???? x5616915 ??? xLagrange線性插值多項(xiàng)式為 二、插值余項(xiàng) 插值的從上節(jié)可知 L a g r a n g exfy )(, ?0( ) ( )nn j jjL x l x f?? ?滿足 nixfxL iin ,1,0)()( ???],[ bax ??但 )()( xfxL n ? 不會(huì)完全成立 因此 , 插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差 , 那么我們?cè)鯓庸? 計(jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？ 1( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n in n nR x f x L x xR x f x L x K x x? ???? ? ?設(shè) 則 為 其 零 點(diǎn) ，可 設(shè) 1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ???即 設(shè) 0?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?若 引 入 輔 助 函 數(shù))( x?則有 0?的區(qū)分與注意 xt)( ix?且)()()( 1 inin xxKxR ??? ?0?即個(gè)零點(diǎn)上至少有在區(qū)間若令因此 ,2],[)(, ?? nbatxx i ?,0)( ?x?ni ,1,0 ??nix i ,2,1,0,0)( ????1( ) ( ) , ( ) , ( )nnL x x f x t???由 于 和 為 多 項(xiàng) 式 因 此 若 可 微 則 也 可 微)()()()()(11xtRtxRtnn???????也可令1( ) ( ) ( ) ( )nnf x L x K x x? ?? ? ?1( ) ( ) ( ) ( )i n i n if x L x K x x? ?? ? ?根據(jù) Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 1),()( ?? nbat?再由 Rolle定理 , 個(gè)零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 nbat ),()(? ??依此類推 階導(dǎo)數(shù)為零的使得內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)在區(qū)間 1)(,),( ?ntba ??0)()1( ?? ?? n)()1( tn??1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1) ( 1) ( 1)1( ) ( ) ( ) ( )n n nnnf t L t
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