【正文】 一篇：高考數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”解題思想方法、知識點及題型整理Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實驗、二中！高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合一、專題概述什么是數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想．恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．?dāng)?shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．二、例題分析1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是：（A）（B）（C）（D）地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實驗、二中！分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應(yīng)的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．例2．問：圓個？分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩上到直線的距離為的點共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數(shù)．將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(1,2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點（如圖1）啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結(jié)合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．3．切實把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性以性識圖．?dāng)?shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，熟知這些對應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實驗、二中！成，相互轉(zhuǎn)化．例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象．分析 由=，可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象．例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢應(yīng)是越來越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對應(yīng)點的圖形面積是地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實驗、二中！多少？分析 滿足的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45176。R，且a≠b，求證：f(a)f(b)ab．2．求下列函數(shù)的最值：（1）y（2）y=2x25x+4+2x2+2x+1的最小值； =x2+2x+26x26x+13的最大值．p163。239。x3或x1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用237。0，故P不可能在坐標(biāo)原點，即AB的中點．又a206。13，等號成立條件u+v=2，=．即u=，2133時成立．故zmin 你的首選資源互助社區(qū)=1313．令x+2=t，原函數(shù)為y2=3t+10t2（t179。0+y3+1．解得y=2∴ 10．的點（0，時，截距最小，ymin=10．當(dāng)直線與圓②相切時，其截距最大，即10=10）② 10163。2+2=1,b238。b2b,222。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。x179。238。xxB}而xB可由x+2=x，解得，xB=2，xA=2，故不等式的解集為{x|2163。y=3x+b239。252。239。即是使直線y=x+b與半圓有公共點，顯然b的最小逼近值為3，最大值為32，即3b163。1，解不等式得∴函數(shù)的值域為[474+7，] 33yy1sinx+2 的形式類似于斜率公式y(tǒng)=2cosx2x2x1解法二（幾何法）：y=y=sinx+2表示過兩點P0(2，2)，P(cosx，sinx)的直線斜率cosx2由于點P在單位圓x2+y2=1上，如圖,顯然，kP0A163。x163。26，取u=26∴umax=26三、總結(jié)提煉數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。x(a0)的解集為{x|m163。三、解答題：(x2+3xm)=lg(3x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范圍。a1 a1238。提示：由|z2|=2可知，z2對應(yīng)的點在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，而|z1+z2|=|z2(z1)|=|z2(3+i)|表示復(fù)數(shù)z2與3+i對應(yīng)的點的距離，結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為：|PO|+r=(30)2+(10)2+2=10+2提示：令y1=(x1)2，y2=logax，若a1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x206。可見應(yīng)選C提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，由f(x)在（165?？v截距為－m的直線方程，而y=1x2則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距m206。3x0：原方程等價于237。x2+4x3=m238。：令y1=4xx2，y2=(a1)x，其中y1=4xx2表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，y2=(a1)x表示過原點的直線系，不等式4xx2(a1)x的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應(yīng)的x值。數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢不容忽視。2．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：（1）等價性原則。解析：∵∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：（1）（2）（3）（1）當(dāng)a＜0時，如圖（1）所示，當(dāng)x=0時，y有最大值，即∴1―a=2?！郺=2?？偨Y(jié)升華：1．解決這類問題時要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答3．(北京2010∴|OC|=2。則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和如圖，點A（1，1）關(guān)于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）2的取A．B．或C．D．或解析：如圖由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率可看作可行域內(nèi)的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。此時，頂點P位于x軸上，為點，它畫出了C為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點.∴ 、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是.舉一反三：2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點。設(shè)（x∈－1，1）如圖：當(dāng)內(nèi)有1個實根。思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運算。∵0≤a≤1，∴不合題意。3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。：將原方程化為：loga(xak)=loga∴xak=x2a2，x2a2，且xak0，x2a20令y1=xak，它表示傾角為45176。x3，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1，或3163。x30163。x2+3xm0236。由圖形，易知，該距離的最大值為2+2。2時，不等式(x1)2logax對x206。a1238。log((xa)axak)=loga222【試題答案】一、選擇題提示：畫出y=sinx，y=lgx在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。(x)=x+bx+c對任意實數(shù)t，都有f(2+t)=f(2t)，則f(1)、f(3)、(0)f(3)(2)f(3)f(4)由小到大依次為___________。1)U