【正文】 都有。230。lim231。0時，f(x)~g(x)，則k236。1239。(0,0)x2y2exy(x,y)174。=34）limtanxsinxx174。165。=1/22）lim230。+165。1）limx231。型：230。3x+2=e^(6)4x+2230。3)lim(1+2x)x174。232。第二類間斷點3）當(dāng)x=1時，f(x)=1/2。(239。0時，x174。x0236。x0+由此可知函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù)又右連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點a右連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，則稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（165。237。在x=0處得連續(xù)性238。236。[a,b]，使得f(x)=0例7 證明x5+2x2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根 證明 略Ⅴ 小結(jié)與提問：Ⅵ 課外作業(yè)：習(xí)題18 2，5，7，9。x在x=0處得連續(xù)性239。x2+1,x185。236。解略 若limf(x)=f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù) x174。x0limf(x)=f(x0)則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)由定義3知函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)包含了三個條件：（1）f(x)在點x0有定義（2）limf(x)存在x174。0Dx174。a239。0xf(x)=(sin2x)/x+ln(13x)+2(方法：兩邊limf(x)x0)x2+x求函數(shù)f(x)=的間斷點，并判定類型。165。3x+2232。232。2)lim(x1)tanx174。型：230。248。xex1247。165。=1/43）limtan3xln(12x)x174。x0x=0在x=0處連續(xù)，則a=1，b=1x0函數(shù)f(x)=e1e+11x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。3x+1x1238。x2+ax+b=5，則a=3，b=4設(shè)limx174。n2x=4/(√23)230。1x1238。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì), 如最值定理、介值定理、Cantor定理,對于二元函數(shù)也相應(yīng)成立。推論若但不相等,則二重極限不存在和二重極限,由于,存在。解當(dāng)x2+y2≠0時，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限不存在,但,。例如若有, 其中。第三篇：二元函數(shù)的極限與連續(xù)167。為函數(shù)(值)對x的偏二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為偏增量。它關(guān)于原點的兩個累次的第二項不存在極限；同理對任何 時, 的第 一項也不存在極限,但是因此。a≠0)。注意：點P趨于點點方式可有無窮多種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖87）。M,且存在P1,P2206。(1,2)limf(x,y)=f(1,2)=32.一般地, 求limf(P)時, 如果f(P)是初等函數(shù), 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)P174。 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)。xy x2+y2185。(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0),則稱函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)連續(xù).如果函數(shù)f(x,y)在D的每一點都連續(xù), 那么就稱函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù), 或者稱f(x,y)是D上的連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去. 例7：設(shè)f(x,y)=sinx,證明f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù)。231。122246。1xyx+y22)x2sinxy1解：（1）(x,y)174。需要強調(diào)的是一元函數(shù)極限的L’Hospital法則不能用于二元函數(shù)求極限。0）]，所以極限不存在。0x+kx=k1+k2.因此, 函數(shù)f(x,y)在(0, 0)處無極限.（ii）xy+11x+y(x,y)174。(0,0)f(x,y)=limf(x, 0)=lim0=0。(0,0)f(x,y)=0。(x0,y0)), limf(P)=A或f(P)174。D}稱為二元函數(shù)z=f(x, y)的圖形, 二元函數(shù)的圖形是一張曲面.例如 z=ax+by+c是一張平面, 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面.6．1．3 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類似, 如果在P(x,y)174。D}.函數(shù)的其它符號: z=z(x,y), z=g(x,y)=f(x, y, z),(x, y, z)206。a2, , xn174。R, i=1, 2, , n}. nR中的元素(x1, x2, , xn)有時也用單個字母x來表示, 即x=(x1, x2, , xn). 當(dāng)所有的xi(i=1, 2, , n)都為零時, 稱這樣的元素為Rn中的零元, 記為023或O . 在解析幾何中, 通過直角坐標(biāo), R(或R)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應(yīng), 因而Rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量, xi稱為點x的第i個坐標(biāo)或n維向量x的第i個分量. 特別地, Rn中的零元0稱為Rn中的坐標(biāo)原點或n維零向量.為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系, 在Rn中定義線性運算如下:o 設(shè)x=(x1, x2, , xn), y=(y1, y2, , yn)為Rn中任意兩個元素, l206。U(O, r), 其中O是坐標(biāo)原點, 則稱E為有界點集.無界集: 一個集合如果不是有界集, 就稱這集合為無界集.例如, 集合{(x, y)|1163。 滿足x2+y2=2的一切點(x, y)也是E的邊界點, 它們都屬于E。, 則稱P為E的ooo外點。R={(x,y)x,y206。5．掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。 二元函數(shù)的極限與連續(xù)6．1．1 區(qū)域1．平面點集由平面解析幾何知道, 當(dāng)在平面上引入了一個直角坐標(biāo)系后,平面上的點P與有序二元實數(shù)組(x,y)之間就建立了一一對應(yīng). 于是, 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x,y)與平面上的點P視作是等同的. 這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面.二元的序?qū)崝?shù)組(x,y)的全體, 即R2=R180。E=198。 滿足x2+y2=1的一切點(x, y)都是E的邊界點, 它們都不屬于E。2}.有界集: 對于平面點集E, 如果存在某一正數(shù)r, 使得E204。R={(x1, x2, , xn)| xi206。a1, x2174。D)其中點集D稱為該函數(shù)的定義域, x, y稱為自變量, z稱為因變量.上述定義中, 與自變量x、y的一對值(x, y)相對應(yīng)的因變量z的值, 也稱為f在點(x, y)處的函數(shù)值, 記作f(x,y), 即z=f(x,y).值域: f(D)={z| z=f(x, y),(x, y)206。1}(有界閉區(qū)域).二元函數(shù)的圖形: 點集{(x, y, z)|z=f(x, y),(x, y)206。A((x,y)174。U(O,d)時，總有f(x,y)e，22