【正文】 ）在這個區(qū)間上是減函數(shù)．5．引導(dǎo)學(xué)生討論如何利用單調(diào)函數(shù)的定義，證明函數(shù)y=x2在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)，并由此總結(jié)證明函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的一般步驟：（1）在給定的區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量的值x1，x2，時規(guī)定x1＜x2；（2）判定f（x1）－f（x2）的符號在給定的區(qū)間內(nèi)是否不變，并由此得出f（x1）與f（x2）的大小關(guān)系；（3）得出f（x）在給定的區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)．6．讓學(xué)生利用單調(diào)函數(shù)的定義證明函數(shù)y＝x2在區(qū)間（－∞，0）上是減函數(shù)．7．教師示范完成例2，學(xué)生獨立完成教材上練習(xí)第3題，并讓學(xué)生相互評改． 稍后，教師選擇學(xué)生練習(xí)中較典型的練習(xí)，通過投影對學(xué)生公開講評．8．關(guān)于單調(diào)函數(shù)的定義的注意事項：（1）函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)具有單調(diào)性．例如，教材中練習(xí)第2題．（2）有些函數(shù)沒有單調(diào)區(qū)間，或者它的定義域根本就不是區(qū)間．例如函數(shù)y＝5x，（x∈{1，2，3}）．（3）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是不能求并的，即使單調(diào)性相同的區(qū)間也如此． 例如，函數(shù)f（x）＝1x在區(qū)間（－∞，0)，（0，＋∞)上都是減函數(shù)，但不能說f(x)在集合（－∞，0)∪（0，＋∞)是減函數(shù)．（4）對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)．因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，包括不包括端點都可以．如本小節(jié)的例1，f（x）的減區(qū)間可以是[－5，－2），[1，3），也可以是[－5，－2］，[1，3］；增區(qū)間可以是[－2，1），[3，5]，也可以是[－2，1]，[3，5]．用心 愛心 專心 117號編輯 39．探求f（x）＝x－x的單調(diào)區(qū)間．（1）利用圖形計算器或計算機在函數(shù)f（x）＝x－x的圖象上找出函數(shù)單調(diào)性發(fā)生變化的33點（如圖圖8所示）．圖7圖8（2）設(shè)x1＜x2，則f（x1）－（x2）＝（x13－x1）－（x3－x2）22＝（x1－x2）（x1＋x1x2＋x2－1）． 2由于f（x）在某個區(qū)間上單調(diào)，則f（x1）－（x2）在這個區(qū)間上符號不變． 易知x1－x22＜0，故f（x）的單調(diào)區(qū)間應(yīng)使x1＋x1x2＋x2－1恒負(fù)或恒正． 2由x1，x2可以無限接近，易知x1，x2無限接近177。由此導(dǎo)入函數(shù)圖像的上升下降變化，給出f（x）=x和f（x）=x178。強調(diào)增（減）函數(shù)概念，尤其是在區(qū)間內(nèi)任取x1，x2這句話的理解。定論。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過對他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。后一過程的進行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動來完成。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實數(shù)a，只要證明就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。結(jié)論：（1）y軸左側(cè)：逐漸下降； y軸右側(cè)：逐漸上升；（2）左側(cè) y隨x的增大而減?。挥覀?cè)y隨x的增大而增大。（2）函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)。引導(dǎo)學(xué)生進行分析證明思路，同時展示證明過程：證明：設(shè)任意的 由于是即所以。函數(shù)單調(diào)性是對定義域的某個區(qū)間而言的，反映的是在這一區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化的性質(zhì)。三、教學(xué)過程學(xué)生動手作圖，引入課題：結(jié)合函數(shù)圖像畫法的相關(guān)知識，讓學(xué)生實際動手操作，分別畫出函數(shù)f(x)=x,f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=x2的圖像。,+165。,0)，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)。(0,+165。例題講解，鞏固定義；歸納總結(jié)，尋求一般證明步驟：講解例題，引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（設(shè)元、求差、變形、斷號，定論）。)，V1V2\VV120,V1V20，同時，k0，斷號\P(V1)P(V2)0即，P(V1)P(V2).所以，函數(shù)P=k在區(qū)間(0,+165。)為增函數(shù)？222法一： 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為12,所以f(x)=x[0,+165。解析：自變量不可能被窮舉，證明函數(shù)的單調(diào)性時，要在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量。)上是減函數(shù)”這兩種種說法對嗎？ x解析：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A200。)上都是x1在(165。)且x1x2，因為x12x22=(x1+x2)(x1x2)0,即x12x22，所以f(x)=x2在[0,+165。從而，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴(yán)密化、精確化的研究。)，當(dāng)V1V2時，有：設(shè)元P(V1)P(V2)=kk求差 V1V2V2V1變形 VV1 =k又QV1,V2206。I，若x1,x2206。,0)，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)。③ 對于函數(shù)f(x)=x2而言，x1,x2206。（2）如何用數(shù)學(xué)語言描述上述函數(shù)中，函數(shù)值f(x)隨自變量x的變化情況？① 對于函數(shù)f(x)=x而言，x1,x2206。二、重點、難點分析重點：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明。上是什么函數(shù)？(減函數(shù))在定義域上是減函數(shù)？（學(xué)生討論問題2 ：能否說函數(shù)得出）四、課堂練習(xí)，知識鞏固課本59頁 練習(xí)：第4題。（2）在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內(nèi)要完整。當(dāng)x1 f(x2)y隨x增大而減小。德育目標(biāo)：在揭示函數(shù)單調(diào)性實質(zhì)的同時進行辯證唯物主義思想教育。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學(xué)生的發(fā)言進行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論，學(xué)生錯誤的回答主要有兩種：①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考？如何進行數(shù)學(xué)的思考？一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．關(guān)鍵點2。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。第三篇