直線與平面垂直的證明題精選5篇(存儲(chǔ)版)
【正文】 覺(jué)效果．二、直線與平面垂直的判定定理2．師：這是課本第25頁(yè)的例1，我們把它正式升格為判定定理2．我們來(lái)看下面的模型就很容易了解定理的內(nèi)容．（這時(shí)拿出兩根小棍平行地放在課桌面上，并使其中一根與桌面垂直，讓學(xué)生觀察另一根與桌面的關(guān)系）a∥b，如果a⊥平面α，那么b與平面α是什么關(guān)系？生：b也垂直平面α．師：這就是線面垂直的判定定理2．判定定理2如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面．已知：a∥b，a⊥α．（如圖3）求證：b⊥α．師：判定定理判定定理2，這里的1，2不是人為的排列，而是有它內(nèi)在的邏輯關(guān)系，也就是說(shuō)我們可以應(yīng)用判定定理1來(lái)證明判定定理2，那么我們?nèi)绾斡门卸ǘɡ?來(lái)證明判定定理2呢？生：為了用判定定理1，我們可以首先在平面α內(nèi)作兩條相交直線m，n． 因?yàn)?a⊥α，所以 a⊥m，a⊥n．（線面垂直的定義）又因?yàn)?a∥b，所以 b⊥m，b⊥n．（一條直線垂直于平行線中的一條也就垂直于另一條）故 b⊥α．（線面垂直的判定定理1）三、直線和平面垂直的性質(zhì)定理師：現(xiàn)在我們來(lái)研究直線和平面垂直的性質(zhì)定理，先來(lái)看模型．（這時(shí)教師用兩根小棍都垂直于桌面，讓學(xué)生觀察、回答）生：這兩直線平行．師：這就是直線和平面垂直的性質(zhì)定理．直線和平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．已知：a⊥平面α，（如圖4）b⊥平面α，求證：a∥b．師：我們講過(guò)了線面垂直的判定定理2．也曾經(jīng)在講線面垂直的定義時(shí)，把課本中的兩句話（第24頁(yè)）升格為兩個(gè)定理，即：定理過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直． 定理 過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直． 現(xiàn)在可以根據(jù)上述定理來(lái)證明線面垂直的性質(zhì)定理：生：可用反證法，假設(shè)b a，設(shè)b∩α＝O，過(guò)O點(diǎn)作b′∥a，因?yàn)閍⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以過(guò)點(diǎn)O有兩條直線b，b′都與平面α垂直，與垂線的唯一性矛盾，所以ba不能成立，所以b∥a．師：用反證法證明可以，也可以用同一法，即在證明的開(kāi)始不做假設(shè)b a，證完b′⊥α后，根據(jù)垂線的唯一性b′應(yīng)與b重合，所以b∥a．當(dāng)然，對(duì)反證法和同一法，我們主要要掌握反證法，對(duì)同一法只要求有所了解．四、兩個(gè)定義1．點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．（教師可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后給點(diǎn)到平面的距離下定義，下完定義后可指出，點(diǎn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，即這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離）2．平行的直線和平面的距離一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離．（教師可先用一根小棍和平面平行，演示讓學(xué)生觀察，如何給平行的直線和平面的距離下定義，定義給出后，教師可指出平行的直線和平面的距離可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也就可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離）師：在這定義中，是這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線和平面的距離，那會(huì)不會(huì)因在直線上所取的點(diǎn)不同，而使距離不同呢？生：不會(huì)，它們之間的距離都相等．師：對(duì)，但為了在理論上說(shuō)明這個(gè)定義的合理性，我們來(lái)看下面這個(gè)例題． 例已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如圖5）求證：AA′＝BB′．生：因?yàn)锳A′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性質(zhì)定理），所以過(guò)AA′，BB′作平面β，設(shè)β∩α＝A′B′，因?yàn)閘∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行線間的距離處處相等）師：通過(guò)這個(gè)例題的證明，我們就了解了定義的合理性．可以在直線上任意取點(diǎn)．這對(duì)于以后我們求平行的直線和平面的距離，提供了很好的思路． 今天我們講了直線和平面垂直的第2個(gè)判定定理，講了直線和平面垂直的性質(zhì)定理，在這個(gè)基礎(chǔ)上還講了點(diǎn)到平面的距離、平行的直線和平面的距離兩個(gè)定義．作業(yè)
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