【正文】 為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0176。6．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個非零向量，則(1)a^b 219。ｄ＋ｂ圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的知識：垂直的判斷，夾角的計算和線段長度的計算。問題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ l 數(shù)量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識的來龍去脈，創(chuàng)設(shè)問題情景，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用，可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。(b+c)。x1y2x2y1=0(對比記憶)(1,2),B(2,3),C(2,5),試判斷DABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))思考:i)q的范圍?ii)由cosq能確定q嗎?為什么?(找學(xué)生回答) 練習(xí)3rrrr已知a=(3,2),b=(5,7),求a與brrrr設(shè)a=(5,7),b=(6,4),求a的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍是_____.。b=0219。b。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。：以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點是否突出，難點是否突破。 ==|a||b|2|b|225 評述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、a=a2，求證：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2。с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。4.“投影”的概念定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。、向量的夾角，并能進(jìn)行相關(guān)的判斷和計算三、重、難點：【重點】 【難點】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用四、課時安排：2課時五、教學(xué)方案及其設(shè)計意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景平面向量的數(shù)量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。思考題、設(shè)向量rrm=(cosq,sinq)和n=(2sinq,cosq),q206。x2＋y2應(yīng)用四：平面向量的綜合運用rrrsinb)，c=(1，例(2009 湖北理)已知向量a=(cosa，b=(cosb，sina)，0)．rr（1）求向量b+c的長度的最大值；（2）設(shè)a= π4rrs，且a⊥(b+c)，求cosb的值．設(shè)計意圖：通過典例精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進(jìn)一步提高分析、解決問題的能力。b=，(ab)(a+b)=，求： 22rrrrrr（1）a與b的夾角的大小。︱b︱cosq叫做a與(1)e五、教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：掌握平面向量的數(shù)量積公式及向量的夾角公式；運用平面向量的知識解決有關(guān)問題?！镀矫嫦蛄康臄?shù)量積及應(yīng)用》，計劃安排兩個課時，本節(jié)課是第2課時。＜B＜180176。ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30176。解三角形．（角精確到1176。sinB．又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．教師明晰：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時，由正弦函數(shù)的定義，得（2）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，結(jié)論是否仍然成立？引導(dǎo)學(xué)生自己推出．（詳細(xì)給出解答過程）事實上，當(dāng)∠A為鈍角時，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180176。），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期．（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)θ角到點P′（x′，y′）（如圖422），求證：三角形邊和角關(guān)系的探索教材分析初中已研究過解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進(jìn)而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學(xué)生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質(zhì)．當(dāng)然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．這節(jié)課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實際問題．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在初中對三角形有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對正弦定理的推導(dǎo)，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進(jìn)，學(xué)生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問題．教學(xué)目標(biāo)、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 、余弦定理解斜三角形．，結(jié)合解三角形的知識，解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題．教學(xué)設(shè)計一、問題情景，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上（如圖431），問：飛機(jī)離兩探照燈的距離分別是多少？，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計時應(yīng)計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60176。）＝5（sinαcos45176。的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？二、建立模型 究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導(dǎo)公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． Sα+β與Sαβ中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號的差異．三、解釋應(yīng)用 ［例題一］已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本題主要訓(xùn)練公式Sαβ與Sα+β的使用．由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［練習(xí)一］分析：1.（1）強(qiáng)調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30176。＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導(dǎo)是否正確．當(dāng)α－β為任意角時，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，則這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．（36176。的值．分析：對于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75176。＋45176。的值．分析：本題關(guān)鍵是將15176。β＝30176。＝b的幾何意義嗎？ 如圖403，ab＋2a（a－3b）． 解：（a＋2b）b＝ a2＋2ab＝cc（乘法對加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝cb＝0＝λ（ab）＝ab＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝54cos120176。b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個實數(shù)．說明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設(shè)e是單位向量，a（－）＝0，即故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。＋（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。a－ba＋ac．思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（ab）．（3）（a＋b）b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab＝bb｜≤｜a｜｜b｜（這與實數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。b＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（ac與a＝c的關(guān)系，ab＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a．：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義．回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）ab）； 當(dāng)λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）（λb）＝λ（ac＋b（a＋b）＝ ab＋b－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當(dāng)k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。即c）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學(xué)設(shè)計一、問題情景如圖401所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab． 解：ab＝λ（ab＝0c＋bc）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果aa＋b求（a＋2b）時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋