高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)總結(jié)及例題(存儲(chǔ)版)
【正文】 的定義域，求 ? ?f hx( ) 的定義域 思路：設(shè) ? ?f gx( ) 的定義域?yàn)?D，即 x D? ， 由此得 gx E( )? ， f 的作用范圍為 E，又 f 對(duì) hx() 作用，作用范圍不變，所以 hx E( )? ，解得 x F? ， F 為 ? ?f hx( ) 的定義域。 例 1. 設(shè)函數(shù) fu() 的定義域?yàn)椋?0， 1），則函數(shù) f x(ln) 的定義域?yàn)?_____________。利用這種理念求此類定義域問題會(huì)有“得來全不費(fèi)功夫”的感覺，值得大家探討。 三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題 （ 1）引理證明 已知函數(shù) ))(( xgfy? .若 )(xgu? 在區(qū)間 ba,( ） 上是 減 函數(shù)，其值域?yàn)?(c， d)，又函數(shù) )(ufy? 在區(qū)間 (c,d)上是 減 函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù) ))(( xgfy? 在區(qū)間 ba,( ） 上是增函數(shù) . 證明 ： 在區(qū)間 ba,( ） 內(nèi)任取兩個(gè)數(shù) 21,xx ，使 bxxa ??? 21 因?yàn)?)(xgu? 在區(qū)間 ba,( ） 上是 減 函數(shù)，所以 )()( 21 xgxg ? ,記 )( 11 xgu ? , )( 22 xgu ? 即 ),(, 21,21 dcuuuu ?? 且 因?yàn)楹瘮?shù) )(ufy? 在區(qū)間 (c,d)上是 減 函數(shù)，所以 )()( 21 ufuf ? ,即))(())(( 21 xgfxgf ? ， 故函數(shù) ))(( xgfy? 在區(qū)間 ba,( ） 上是增函數(shù) . （ 2）．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 是 由兩個(gè)函數(shù)共同決定 。 答案： ,1?a 時(shí) ),0( ?? 為增函數(shù)， 01 ??a 時(shí)， )0,(?? 為增函數(shù)。 當(dāng) 10 ??a 時(shí)，若 1?x ，則 )123(lo g)( 2 ??? xxxf a 為減函數(shù)，若 31??x ，則)123(lo g)( 2 ??? xxxf a 為增函數(shù) . 例 .已知 y= alog (2 xa )在［ 0， 1］上是 x的減函數(shù)，求 a的取值范圍 . 解：∵ a＞ 0且 a≠ 1 當(dāng) a＞ 1時(shí)，函數(shù) t=2 xa 0 是減函數(shù) 由 y= alog (2 xa )在［ 0， 1］上 x的減函數(shù)，知 y= alog t是增函數(shù)， ∴ a＞ 1 由 x?［ 0， 1］時(shí)， 2 xa ? 2a＞ 0,得 a＜ 2, ∴ 1＜ a＜ 2 當(dāng) 0a1時(shí)，函數(shù) t=2 xa 0是增函數(shù) 奎屯王新敞 新疆 由 y= alog (2 xa )在［ 0， 1］上 x的減函數(shù)，知 y= alog t是減函數(shù)， ∴ 0a1 奎屯王新敞 新疆 由 x?［ 0， 1］時(shí)， 2 xa ? 21＞ 0, ∴ 0a1 綜上述， 0a1或 1＜ a＜ 2 奎屯王新敞 新疆 例 已知函數(shù) 2)3()2( 2 ?????? axaaxxf （ a 為負(fù)整數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)Rmm ?? ),0,2( ，設(shè) )()()()],([)( xfxpgxFxffxg ??? .問是否存在 實(shí)數(shù) )0( ?pp 使得)(xF 在區(qū)間 )]2(,( f?? 上是減函數(shù)，且在區(qū)間 )0),2((f 上是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論。 答案： )23,1()0,21( ?? 設(shè) ? ? xxxf ??? 22lg ，則 ????????????? xfxf 22的定義域?yàn)椋? ） A. ? ? ? ?4,00,4 ?? B. ? ? ? ?4,11,4 ??? C. ? ? ? ?2,11,2 ??? D. ? ? ? ?4,22,4 ??? 解：選 2 02 xx? ?? 得， ()fx的定義域?yàn)?? ?| 2 2xx? ? ? 。 解析： f x( )3 2? 的定義域?yàn)?? ??1 2， ，即 ? ?x??1 2， ，由此得 ? ?3 2 1 5? ? ?x ， 所以 f 的作用范圍為 ? ??1 5， ，又 f 對(duì) x 作用，作用范圍不變，所以 ? ?x??1 5， 即函數(shù) f x() 的定義域?yàn)?? ??1 5， 例 4. 已知 f x xx( ) lg2 224 8? ? ?，則函數(shù) f x() 的定義域?yàn)?______________。 解析：函數(shù) fu() 的定義域?yàn)椋?0， 1）即 u?( )0 1， ，所以 f 的作用范圍為（ 0， 1） 又 f 對(duì) lnx 作用，作用范圍不變，所以 0 1? ?lnx 解得 x e?( )1， ，故函數(shù) f x(ln) 的定義域?yàn)椋?1， e） 例 2. 若函數(shù) f x x( ) ? ?1 1 ，則函數(shù) ? ?f f x( ) 的定義域?yàn)?______________。 （二）同步練習(xí)： 已知函數(shù) )x(f 的定義域?yàn)?]1,0[ ，求函數(shù) )x(f 2 的定義域。 為了記憶方便， 我 們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表 ： )(ufy? 增 ↗ 減 ↘ )(xgu? 增 ↗ 減 ↘ 增 ↗ 減 ↘ ))(( xgfy? 增 ↗ 減 ↘ 減 ↘ 增 ↗ 以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或 “同增異減” . （ 3）、復(fù)合函數(shù) ))(( xgfy? 的單調(diào)性判斷步驟： ⅰ 確定函數(shù)的定義域； ⅱ 將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)： )(ufy? 與 )(xgu? 。 4．求函數(shù) y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間． 解： 由 ? （ x）＝ x2－ 5x＋ 4＞ 0，解得 x＞ 4 或 x＜ 1，所以 x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），當(dāng) x∈（－∞， 1）∪（
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