【正文】 ???? ????????? ?2211 ?L22??? ? LLL ??? 21 ?該伸長(zhǎng)量由其軸力 F 引起： EAFLL ?Δ222 LEAF ??故有 根據(jù)力平衡 222c o s2?????? LFFP2)(12LLF????P L ? F P L ? F 222 LEAF ??2)(12LLFP?????????? ??? ?22212LLF ??LF?2?33LEAP ?? 故有 3EAPL??將 F 表達(dá)式代入即可得 分析和討論 圖示結(jié)構(gòu)中，可以在未變形的構(gòu)形中討論力平衡 嗎？ 提示 幾何非線性問(wèn)題的處理應(yīng)同時(shí)考慮變形前后的構(gòu)形。現(xiàn)將容器右部下方的支座緩慢移開(kāi)。 設(shè)失穩(wěn)時(shí)立柱偏轉(zhuǎn)角為 ?，考慮立柱的平衡： 鋼繩的伸長(zhǎng)量 鋼繩伸長(zhǎng)量與偏轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系為 六、非線性問(wèn)題 物理非線性 幾何非線性 穩(wěn)定問(wèn)題 分段線性問(wèn)題 剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載 彈性穩(wěn)定的微分方程 應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性 穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念 F L EI F x R w R M )( xLRFwM ????考慮右半部的平衡 )( xLRFwx wEI ???22dd EIFk ?2)( xLE I kRkxBkxAw ???? 2s inc o sA、 B 、 R 不全為零。 例 圖示結(jié)構(gòu)中， AB 段為剛體，BC 段抗彎剛度為 EI， A處有一螺旋彈簧，其剛度 ，求這個(gè)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定特征方程。 ??? Fm ?? ??? F? ?? akaEIF 2???在彈性區(qū)段取右段考慮其彎矩 )()( wFxM ?? ?)( wEIFEIMx w ??? ?22dd ?22 kwkw ????其通解 ???? kxBkxAw s inc o sa F a y x ? w m ? ?? M x a F a y x ? w m ? ?? M x ???? kxBkxAw s inc o s? aw ??)0( ??? 22 akaA ????? ak 2?0)1( 22 ??? ?akA?? ?)0( ?? akBk 2?? 0?? ?kaB??)(aw 0s inc o s ?? kaBkaAA、 B、 ? 有非零解的必要條件 00s inc os10101 22???kakakaak特征方程 0c o t)1( 22 ?? kaak考慮彈性區(qū)的邊界條件 kxBkkxAk c o ss in ????六、非線性問(wèn)題 物理非線性 幾何非線性 穩(wěn)定問(wèn)題 分段線性問(wèn)題 剛性桿穩(wěn)定的臨界荷載 彈性穩(wěn)定的微分方程 非理想壓桿 應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性，荷載與變形關(guān)系非線性 穩(wěn)定問(wèn)題的一般性概念 提示 非理想壓桿的處理方式是利用微分方程的非齊次項(xiàng)或 和非齊次邊界條件尋求微分方程的解答，通過(guò)解答的分析尋求臨界荷載。 建立坐標(biāo)系， 建立彎矩方程： q LxqxxFwxM 2121)()( 2 ??? )(2 22 LxxEIqwkw ?????這是一個(gè)非齊次線性微分方程。 F ( a ? x ) F x 1 例 如圖的剛度各段的抗彎剛度均為 EI ，球形重物置于最下方橫梁的何處，才不致于沿梁滾動(dòng)？ a a a F 只有球所在的位置梁的轉(zhuǎn)角為零，才能使球不會(huì)滾動(dòng)。 3) 利用協(xié)調(diào)條件建立關(guān)于多余約束。 圖乘法還可用于計(jì)算軸力圖和扭矩圖。 建立坐標(biāo)系， 建立彎矩方程： q LxqxxFwxM 2121)()( 2 ??? )(2 22 LxxEIqwkw ?????這是一個(gè)非齊次線性微分方程。 建立如圖的坐標(biāo)系。 特征方程的推導(dǎo)方法： 利用齊次邊界條件（位移為零、轉(zhuǎn)角為零等）建立關(guān)于待定系數(shù)的齊次線性方程組，再?gòu)南禂?shù)行列式為零的條件引出特征方程。 提示 穩(wěn)定問(wèn)題的分析中，應(yīng)先設(shè)想結(jié)構(gòu)一個(gè)失穩(wěn)狀態(tài)，然后在已變形的構(gòu)形中考慮力和矩的平衡。 考慮由于水的傾斜而引起的重心位置變化： L a b h P 記容器傾斜的角度為 ? ， a?? ?ta n?ta n2211 ahh ?? ?ta n2212 ahh ??例 如圖的長(zhǎng)方體容器中盛了一半的水。 P L ? 設(shè)中點(diǎn)的豎向位移為 ? ，則半長(zhǎng)鋼絲的伸長(zhǎng)量 LLL ??? 22Δ ?LLL ??????? ????????? ?2211 ?L22??? ? LLL ??? 21 ?該伸長(zhǎng)量由其軸力 F 引起： EAFLL ?Δ222 LEAF ??故有 根據(jù)力平衡 F 222c o s2?????? LFFP2)(12LLF????例 重量為 P 的雜技演員在表演走鋼絲。現(xiàn)荷載由 O 點(diǎn)緩慢移動(dòng)到 K 點(diǎn)后再返回到 O 點(diǎn)， A 桿處的豎向位移是如何變化的？ K 顯見(jiàn)，剛在 O 點(diǎn)加上荷載時(shí) A 點(diǎn)的豎向位移為 ? ??? EAFLv A 60荷載在 K 點(diǎn)時(shí) A 桿處的位移 此時(shí) A、 B、 F 桿 進(jìn)入塑性，它們對(duì)圓盤(pán)的支承力將保持為 F / 4 ， 但不會(huì)對(duì)圓盤(pán)的位移形成約束。 例 如果在右段剛進(jìn)入塑性時(shí)即開(kāi)始卸載，直到外荷載為零。 左段剛進(jìn)入塑性時(shí)， AbbaFS????Eau SC???F uC F? uC? 荷載繼續(xù)增加時(shí)， 右段的軸力 AFF B SN ????AF A SN ???左段的軸力 ?S A EAbAFuC)( Se????C 截面的位移取決于右段 Fba bF A ??N Fba aF B ??N)(e baEAF a buC ??F uC F? uC? 由于 b a ，故左段先進(jìn)入塑性。 b a ，桿件的橫截面積為 A ， 材料的彈性模量為 E，屈服極限為 ? S 。 物理非線性必定影響超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。 ； O? 圓心必定在 AC 中點(diǎn)。 作 AB? 的垂直平分線交橫軸于 O?。 截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 在應(yīng)力圓上， A 點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為單元體左側(cè)面上的正應(yīng)力，縱坐標(biāo)即切應(yīng)力。 應(yīng)力的極值問(wèn)題有三個(gè)層面：（ 1）是桿件中哪個(gè)橫截面上的應(yīng)力 ？（ 2）是該橫截面上哪個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力 ？（ 3）是該點(diǎn)處哪個(gè)方位上的應(yīng)力？ 第三個(gè)層面上的極值問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是主應(yīng)力和主方向。 例 如圖的結(jié)構(gòu)中，若允許在頂端增加一根可拉壓的彈簧以增加抗失穩(wěn)能力，那么彈簧應(yīng)如何安置最為合理？ 分析 圖示的桿件失穩(wěn)，發(fā)生在橫截面形心主慣性矩較小的方向上。 截面尺寸主要取決于彎矩，但在剪力很大而彎矩較小的區(qū)段也應(yīng)考慮剪力的影響。 A q x R qL–R/ 2 x39。 d1 d1 d2 L L A q 分析 由于底部油缸連通，即油壓相同，因此梁所承受的支反力與油缸支承面積成正比。 梁處于吊裝狀態(tài)時(shí)，可簡(jiǎn)化為如圖的梁。 例 如圖的混凝土梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的重量為 q 。 AC 段的抗彎剛度為EI ，求梁中的最大撓度 。若函數(shù)是撓度，則意味著該點(diǎn)轉(zhuǎn)角為零。 三角形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩 I1 b h C K 直角三角形對(duì)于過(guò)形心的 C 軸的慣性矩。 材 料 力 學(xué) 競(jìng) 賽 訓(xùn) 練（ 2） 一、簡(jiǎn)化問(wèn)題 二、平衡與疊加 三、結(jié)構(gòu)的失效 模型簡(jiǎn)化 數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化 物理事實(shí)簡(jiǎn)化 對(duì)稱結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化 整體平衡 局部平衡 疊加原理及其應(yīng)用 構(gòu)件的失效 訓(xùn) 練 內(nèi) 容 危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn) 組合結(jié)構(gòu)的失效 四、變動(dòng)荷載問(wèn)題 變動(dòng)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的 最不利位置 利用極值性質(zhì)確定 最不利位置 臨界點(diǎn)、臨界線以及它們所界定的區(qū)域 五、極值和優(yōu)化問(wèn)題 利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值 張量的極值就是其主值 利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值 結(jié)構(gòu)的優(yōu)化 基礎(chǔ)性概念和基本方法 六、非線性問(wèn)題 七、能量方法 八、應(yīng)變的測(cè)量 物理非線性 幾何非線性 穩(wěn)定問(wèn)題 互等定理 溫度荷載問(wèn)題 動(dòng)荷載問(wèn)題 非線性問(wèn)題 應(yīng)變測(cè)試原理 常用測(cè)試方法 五、極值和優(yōu)化問(wèn)題 利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值 提示 利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值的關(guān)鍵，是明確自變量和目標(biāo)函數(shù)，并建立目標(biāo)函數(shù) 與自變量之間的函數(shù)關(guān)系。 圓臺(tái)的慣性矩等于四個(gè)三角形與四個(gè)扇形對(duì)水平對(duì)稱軸慣性矩的和。 三角形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩 ?? 341 s inc o s41 RI ?扇形對(duì)水平對(duì)稱軸的慣性矩 ???dds ind 20 0222 rrrAyIRA? ?? ?? ???ds ind0203 ?? ?? rrR? ???? s inc o s81 4 ?? RR ? ? r R ? ? r ? ??341 s inc o s41 RI ? ? ???? s inc o s81 42 ?? RI圓臺(tái)關(guān)于水平對(duì)稱軸的慣性矩 ? ?214 III ?? ? ?? ?1s in2s inc o s21 24 ??? ????R? ??? s in 4481 4 ?? R?s inm a x Ry ?抗彎截面系數(shù) ? ????s in8s in 443 ?? RW?? 341 s inc o s41 RI ? ? ???? s inc o s81 42 ?? RI圓臺(tái)關(guān)于水平對(duì)稱軸的慣性矩 ? ?214 III ?? ? ?? ?1s in2s inc o s21 24 ??? ????R? ??? s in 4481 4 ?? R?s inm a x Ry ?抗彎截面系數(shù) ? ????s in8s in 443 ?? RWR ? ? r ? ? R 抗彎截面系數(shù) ? ????s in8s in 443 ?? RW? ? 0s in8s in 44dddd 3 ??????????????RW? ? ? ? 0c o ss i n 44s i nc o s 414 ???? ?????o78??37910 RW .?33 π41π321 RDW ???未切前抗彎截面系數(shù) R?五、極值和優(yōu)化問(wèn)題 利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求極值 利用極值出現(xiàn)處的性質(zhì)和特點(diǎn)求極值 提示 函數(shù)在某點(diǎn)處取極值，那么在這一點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。 C x EIqLxEIxqLwA 12341 33 ???L L?x qL / 4 qL2 / 4 EIxLqLwB 3)(41 3????LEI xLqLEI xLqL ??????? ?????? 2 )(41)(4122EIxLqL2)(41 22 ???? ?323 2312 LLxxEIqL ???例 如圖的簡(jiǎn)支梁中， BC 段為剛體。 在強(qiáng)度問(wèn)題中，優(yōu)化的結(jié)構(gòu)應(yīng)盡量使結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件（或構(gòu)件中的各個(gè)部份）的危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力。吊鉤位置應(yīng)在何處？如何正確吊裝以避免梁開(kāi)裂？ 吊鉤應(yīng)置于橫截面尺寸小的一側(cè)，并關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱預(yù)埋。為使梁中彎矩為最小，油缸的直徑比應(yīng)為多少？并求中間支座與兩端支座的高度差。為使梁中彎矩為最小，油缸的直徑比應(yīng)為多少？并求中間支座與兩端支座的高度差。 支座高度差 EI qLw 24 )1128(Δ 4??L q q ? ? 等于多少，才能使梁的承載能力提高得最多？ EIqL 4013 ?EIqLEIqL 44 01 30 38 45 ?d1 d1 d2 L L A q x y x 等強(qiáng)度梁的概念 ][m a xm a x ?? ?? )( )(xW xMz ][m a x?)()( xMxWz ?由此即可確定截面的尺寸。 桿件橫截面上的形心主慣