【正文】 的選法有兩種情況：從理科組中選取 2 男 1 女，再從文科組中任選 1 人，可有 方法；另一種是從理科組中選取 2 女，再從文科組中任選 2 人，可有 方法．根據(jù)互斥事件的概率計算公式與古典概型的概率計算公式即可得出． （ II）由題意可得 ξ=0， 1， 2， 3． P（ ξ=0） = = ， P（ ξ=1） = = ， P（ ξ=2） = = ， P（ ξ=4） = = ，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望． 【解答】 解：（ I）要求被選出的 4 人中理科組、文科組的學(xué)生都有共有： =424． 其中 “理科組恰好記 4 分 ”的選法有兩種情況：從理科組中選取 2 男 1 女，再從文科組中任選 1 人，可有 方法；另一種是從理科組中選取 2 女，再從文科組中任選 2 人，可有 方法． ∴ P= = ． （ II）由題意可得 ξ=0， 1， 2， 3． P（ ξ=0） = = ， P（ ξ=1） = = ，P（ ξ=2） = = ， P（ ξ=4） = = ， 由題意可得 ξ=0， 1， 2， 3．其分布列為： ξ 0 1 2 3 P（ ξ） ξ 的數(shù)學(xué)期望 Eξ= + + = ． 【點評】 本題考查了互斥事件的概率計算公式與古典概型的概率計算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 19．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）如圖，直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中， AC⊥ AB， AB=2AA1，M 是 AB 的中點， △ A1MC1 是等腰三角形， D 為 CC1 的中點， E 為 BC 上一點． （ Ⅰ ）若 DE∥ 平面 A1MC1，求 ； （ Ⅱ ）求直線 BG 和平面 A1MC1 所成角的余弦值． 【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）取 BC 中點 N，連結(jié) MN， C1N，由已知得 A1， M， N， C1 四點共面，由已知條件推導(dǎo)出 DE∥ C1N，從而求出 ． （ Ⅱ ）連結(jié) B1M，由已知條件得四邊形 ABB1A1 為矩形， B1C1 與平面 A1MC1 所成的角為 ∠ B1C1M，由此能求出直線 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值． 【解答】 解：（ Ⅰ ）取 BC 中點 N，連結(jié) MN， C1N， …（ 1 分） ∵ M， N 分別為 AB， CB 中點 ∴ MN∥ AC∥ A1C1， ∴ A1， M， N， C1 四點共面， …（ 3 分） 且平面 BCC1B1∩ 平面 A1MNC1=C1N， 又 DE∩ 平面 BCC1B1， 且 DE∥ 平面 A1MC1， ∴ DE∥ C1N， ∵ D 為 CC1 的中點， ∴ E 是 CN 的中點， … ∴ = ． …（ 6 分） （ Ⅱ ）連結(jié) B1M， …（ 7 分） 因為三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 為直三棱柱， ∴ AA1⊥ 平面 ABC， ∴ AA1⊥ AB，即四邊形 ABB1A1 為矩形，且 AB=2AA1， ∵ M 是 AB 的中點， ∴ B1M⊥ A1M， 又 A1C1⊥ 平面 ABB1A1， ∴ A1C1⊥ B1M，從而 B1M⊥ 平面 A1MC1， …（ 9 分） ∴ MC1 是 B1C1 在平面 A1MC1 內(nèi)的射影， ∴ B1C1 與平面 A1MC1 所成的角為 ∠ B1C1M， 又 B1C1∥ BC， ∴ 直線 BC 和平面 A1MC1 所成的角即 B1C1 與平面 A1MC1 所成的角 …（ 10 分） 設(shè) AB=2AA1=2，且三角形 A1MC1 是等腰三角形 ∴ A1M=A1C1= ，則 MC1=2， B1C1= ， ∴ cos∠ B1C1M= ， ∴ 直線 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值為 ． …（ 12 分） 【點評】 本題考查兩條線段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 20．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）已知直線 l： x+y+8=0，圓 O： x2+y2=36（ O 為坐標(biāo)原點），橢圓 C： =1（ a＞ b＞ 0）的離心率為 e= ，直線 l 被圓 O 截得的弦長與橢圓的長軸長相等． （ I）求橢圓 C 的方程； （ II）過點（ 3， 0）作直線 l，與橢圓 C 交于 A， B 兩點設(shè) （ O 是坐標(biāo)原點），是否存在這樣的直線 l，使四邊形為 ASB 的對角線長相等？若存在，求出直線 l 的方程，若不存在，說明理由． 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題；直線與圓相交的性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】 （ Ⅰ ）計算圓心 O 到直線 l： x+y+8=0 的距離，可得直線 l 被圓 O 截得的弦長，利用直線 l 被圓 O 截得的弦長與橢圓的長軸長相等，可求 a 的值，利用橢圓的離心率為 e= ，即可求得橢圓 C 的方程； （ Ⅱ ）由 ，可得四邊形 OASB 是平行四邊形．假設(shè)存在這樣的直線 l，使四邊形 OASB 的對角線長相等，則四邊形 OASB 為矩形，因此有 ，設(shè)直線方程代入橢圓方程，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 圓心 O 到直線 l： x+y+8=0 的距離為 ， ∴ 直線 l 被圓 O 截得的弦長為 ， ∵ 直線 l 被圓 O 截得的弦長與橢圓的長軸長相等， ∴ 2a=4， ∴ a=2， ∵ 橢圓的離心率為 e= ， ∴ c= ∴ b2=a2﹣ c2=1 ∴ 橢圓 C 的方程為： ； …（ 4 分） （ Ⅱ ） ∵ ， ∴ 四邊形 OASB 是平行四邊形． 假設(shè)存在這樣的直線 l，使四邊形 OASB 的對角線長相等，則四邊形 OASB 為矩形，因此有 ， 設(shè) A（ x1， y2）， B（ x2， y2），則 x1x2+y1y2=0． …（ 7 分） 直線 l 的斜率顯然存在，設(shè)過點（ 3， 0）的直線 l 方程為： y=k（ x﹣ 3）， 由 ，得（ 1+4k2） x2﹣ 24k2x+36k2﹣ 4=0， 由 △ =（﹣ 24k2） 2﹣ 4（ 1+4k2）（ 36k2﹣ 4） ＞ 0，可得﹣ 5k2+1＞ 0，即 ． …（ 9 分） ∴=， 由 x1x2+y1y2=0 得： ，滿足 △＞ 0． …（ 12 分） 故存在這樣的直線 l，其方程為 ． …（ 13 分） 【點評】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，聯(lián)立方程，利用向量的數(shù)量積公式、韋達(dá)定理是關(guān)鍵． 21．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）已知 f（ x） =ax﹣ lnx， x∈ （ 0， e]， g（ x） = ，其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)， a∈ R． （ Ⅰ ）當(dāng) a=1 時，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （ Ⅱ ）求證：在（ Ⅰ ）的條件下， f（ x） ＞ g（ x） + ； （ Ⅲ ）是否存在實數(shù) a，使 f（ x）的最小值是 3，若存 在，求出 a 的值；若不存在，請說明理由． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ Ⅰ ）當(dāng) a=1 時，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性． （ Ⅱ ）利用（ Ⅰ ）的結(jié)論，求函數(shù) f（ x）的最小值以及 g（ x）的最大值，利用它們之間的關(guān)系證明不等式． （ Ⅲ ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于 3，解參數(shù) a． 【解答】 解：（ Ⅰ ）因為 f（ x） =x﹣ lnx， f′（ x） =1﹣ = ， 所以當(dāng) 0＜ x＜ 1 時， f39。的內(nèi)角 B． 60176。的內(nèi)角 C． 45176。． 【解答】 解： = = = = = ， 因為 sin（ A+B） =sin（ π﹣ C） =sinC，得到 sin（ A﹣ B） =sinC﹣ sinB， 即 sinB=sin（ A+B）﹣ sin（ A﹣ B） =2cosAsinB， 得到 2cosA=1，即 2sinAcosA=sinA，即 sin2A=sinA=sin（ B+C）， 由 2A+B+C≠ π，