高等代數(shù)76線性變換的值域與核(存儲(chǔ)版)
【正文】 二、有關(guān)性質(zhì) ? ?12( ) , ( ) , , ( )nL ? ? ?? A A A即 ? ?12( ) ( ) , ( ) , , ( )nVL ? ? ??A A A A又對(duì) 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx x x? ? ?? ? ? ?A A A1 1 2 2( . . . ) ( )nnx x x V? ? ?? ? ? ? ?AA證： 1） 設(shè) ,V??? 1 1 2 2 ,nnx x x? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx x x? ? ? ?? ? ? ?A A A A于是 有 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx x x? ? ?? ? ?A A A? ?12( ) , ( ) , , ( ) ( ) .nLV? ? ???A A A A因此， ? ?12( ) ( ) , ( ) , , ( ) .nVL ? ? ?? A A A A的秩，又 ? ?1 2 1 2 ,( ) , ( ) , , ( ) ( , , , ) .nn A? ? ? ? ? ??A A A∴ 秩 ＝秩 ()A ( ).A等于矩陣 A的秩 . 2） 由 1）， 的秩等于基象組 A 12( ) , ( ) , , ( )n? ? ?A A A由 p271補(bǔ)充題 2的 結(jié)論知， 的秩 12( ) , ( ) , , ( )n? ? ?A A A2. 設(shè) 為 n 維線性空間 V的線性變換，則 A的秩＋ 的零度＝ n A A即 1d i m ( ) d i m ( 0) .Vn ???AA證明： 設(shè) 的零度等于 r ，在核 中取一組基 A 1(0)?A12, , , r? ? ?并把它擴(kuò)充為 V的一組基： 12, , , , ,rn? ? ? ?生成的 . 由定理 10， 是由基象組 ()VA 12( ) , ( ) , , ( )n? ? ?A A A但 ( ) 0 , 1 , 2 , , .i ir? ??A? ?1( ) ( ) , , ( )rnVL ?????A A A設(shè) 11 ( ) ( ) 0r r n nkk???? ? ? ?AA則有 ? ?11 0r r n nkk???? ? ? ?A111 ( 0 )r r n nkk? ? ? ???? ? ? ? ? A下證 為 的一組基，即證它們 1( ) , , ( )rn???AA()VA即 可被 線性表出 . ? 12, , , r? ? ?線性無關(guān) . 設(shè) 1 1 2 2 r
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