第一章矩陣代數(shù)(存儲版)
【正文】 。 ? (6)若 A=diag(a11,a22,?,app)非退化 (即 aii≠0， i=1,2,?,p)， 則 ? (7)若 A和 B為非退化方陣，則 ? ?1 1 1 111 22dia g , , , ppa a a? ? ? ??A1 11? ?????? ??????? ??A AB B0 00 020 167。 矩陣的逆 ?若方陣 A滿足 |A|≠0，則稱 A為 非退化方陣 ；若 |A|=0，則稱 A為 退化方陣 。 ? (6)若 A的某兩行 (或列 )相同，則行列式為零。 1 1 1 2 12 1 2 1 21110101ppp p p p? ? ??? ???? ??? ? ?????? ????? ? ?????a a a a a aa a a a a aa a a a a a1,0 , 1ijiji j p??? ?? ? ? ??aa 若若13 167。 1?? ? ?? ? ? ? ?A A I A A A A I7 正交矩陣 A的幾何意義 ? 當 p=2時， 1122c o s s ins in c o syx ????? ? ? ???? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?y A x8 ? 當 p=3時，如下形式的 正交變換 同樣 有著直觀的 幾何 展示 。 ? (3)A(B1+B2)=AB1+AB2。顯然， aij=0,ij。 特征值、特征向量和矩陣的跡 ?167。 定義 ?167。 定義 11 12 121 22 212qqp p pqa a aa a aa a a?????????Ap q矩陣 ： 12paaa?????????????ap維列向量 ： q維行向量： a′=(a1,a2,?,aq) 向量 a的長度： 2 2 212 pa a a? ? ? ? ? ?a a a單位向量： 1?a2 ?若 A的所有元素全為零，則稱 A為 零矩陣 ，記作A=0pq或 A=0。 3 ?若將矩陣 A的行與列互換，則得到的矩陣稱為 A的 轉置 ，記作 A′，即 ?若方陣 A滿足 A′=A，則稱 A為 對稱矩陣 。 11kkiiii???? ???????A B A B6 ? 若兩個 p維向量 a和 b滿足 a′b=a1b1+a2b2+?+apbp=0 則稱 a和 b正交 。 ? 由于 y′y=(Ax)′(Ax)=x′A′Ax=x′x 故 在新、舊坐標系下，該點到原點的距離保持不變。 ? ? ? ?12 1212121pppj j jj j p jj j ja a a????A12 pj j j?14 行列式的一些基本性質 ? (1)若 A的某行 (或列 )為零，則 |A|=0。 15 ? (9)若 A為上三角矩陣或下三角矩陣或對角矩陣，則 ? (10)若 A和 B均為 p階方陣，則 |AB|=|A||B|。由于 C=BAC=B，因此 A?1是惟一的，且 (A?1)?1=A。 ?矩陣 A的線性無關行向量的最大數(shù)目稱為 行秩 ，其線性無關列向量的最大數(shù)目稱為 列秩 。 ? (8)rank(AA′)=rank(A′A)=rank(A)。 ? 證明 因為 所以 25 p p pq q qp p pq q q??? ? ???????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?I A I A I A BI B I B II I A I AB I B I I B A0000ppqqqppq??? ? ?? ? ? ????? ? ?I A B I AB I I B AI A B I B A00可見 ，兩個關于 λ的方程 |λIp?AB|=0和 |λIq?BA|=0有著完全相同的非零根 (若有重根，則它們的重數(shù)也相同 )，故而 AB和
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