【正文】 一幅濾波后的干涉圖中尋找干涉極值點(diǎn)，記為，在第二幅濾波后的干涉圖中相對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)的所記錄光強(qiáng)記為。該IGS算法是在原有的GS算法的原理基礎(chǔ)之上進(jìn)行改進(jìn)，因此依然使用了其限制條件：干涉圖中的條紋數(shù)量大于1，即干涉圖光強(qiáng)表達(dá)式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1。因此在此相移量提取算法的基礎(chǔ)上，本文提出了基于內(nèi)積之比的兩步相移恢復(fù)相位的算法(Ratio of Inner Products, 簡(jiǎn)稱RIP)。圖41 模擬的兩幅相移干涉圖，(ab)之間的相移量為1rad。與此同時(shí)，本文將這幾種算法進(jìn)行恢復(fù)相位的運(yùn)算時(shí)間（不包括濾除背景項(xiàng)所用的時(shí)間）與其均方根誤差進(jìn)行比較，如表41所示。反射鏡M2 被固定在壓電陶瓷微位移器PZT上，用來實(shí)現(xiàn)參考光的相移。圖44實(shí)驗(yàn)中采集到的干涉圖。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復(fù)的相位，(c)IGS算法恢復(fù)的相位，(d)GS算法恢復(fù)的相位，(e)EVI算法恢復(fù)的相位，(f)CC算法恢復(fù)的相位。. 高斯高通濾波法在數(shù)字圖像處理中，高斯高通濾波器的傳遞函數(shù)為 其中，u, v 代表頻域坐標(biāo)，代表濾波窗口的大小。. 差分法如果將三幅任意相移量的相移干涉圖中的第一幅與第二、三幅相減，則可以濾除干涉圖中的背景項(xiàng)并得到兩幅差分圖像，以這兩幅差分圖像做為兩步相移算法中的濾除背景項(xiàng)的干涉圖，利用施密特正交歸一化方法從兩幅差分圖像中得到兩個(gè)正交信號(hào)，然后再通過一個(gè)反正切函數(shù)即可恢復(fù)待測(cè)相位。同時(shí)，由各方法的原理分析我們可知，應(yīng)用于兩步相移。因?yàn)槿呛瘮?shù)在整周期內(nèi)求和的值為0，于是可以求得干涉圖的背景項(xiàng) 使用相減的方式，便可以濾除干涉圖的背景項(xiàng)。其中本文中使用的濾波方法是高斯高通濾波法，該方法比較簡(jiǎn)便，是兩步相移算法中常用的濾波方法。由計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知，在兩步相移干涉測(cè)量中，RIP與IGS均適合應(yīng)用于恢復(fù)相位與提取相移量。圖43(a) 同軸相移干涉測(cè)量系統(tǒng)示意圖。實(shí)驗(yàn)中的光源為HeNe激光器， nm。圖42 不同算法對(duì)模擬干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位的結(jié)果。同時(shí)，在模擬干涉圖中加入了噪信比為5%的高斯加性噪聲。在第二章中，本文提出了基于內(nèi)積之比的相移提取算法，該算法既可以計(jì)算多幅干涉圖之間的相移量，又可以用于計(jì)算兩幅干涉圖之間的相移量。下面介紹該算法提取相移量的過程。干涉極值法(Extreme Value of Interference, 簡(jiǎn)稱EVI)是指在干涉圖中的尋找干涉的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，然后利用這些特殊像素點(diǎn)，確定相移干涉圖之間的相移量，進(jìn)而根據(jù)公式(431)求解待測(cè)相位的方法。因此，利用施密特正交化將兩個(gè)干涉圖向量正交化，可以得到兩個(gè)正交信號(hào)，進(jìn)而恢復(fù)出待測(cè)相位。兩步相移算法可以在相移量未知的情況下，僅從兩幅相移干涉圖恢復(fù)相位，速度快，精度也較高。從表31中可以看出，在無噪聲的情況下，定步長(zhǎng)相移算法的誤差為0 rad. 但隨著噪聲的加大，定步長(zhǎng)算法的均方根誤差變化比較大，而非定步長(zhǎng)算法的精度變化較小。下面介紹該算法恢復(fù)相位的原理。其收斂條件為 其中，j代表迭代次數(shù)，為一個(gè)預(yù)設(shè)的很小的值，如104，它代表了迭代算法對(duì)精度的要求。最小二乘誤差Sk 可以表示為 其中，為實(shí)驗(yàn)中采集到的第n幅干涉圖第k個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)。目前常用的非定步長(zhǎng)相移算法主要有改進(jìn)迭代算法和主成分分析算法。各類算法均有其各自的優(yōu)缺點(diǎn)，其中常用的是定步長(zhǎng)算法與非定步長(zhǎng)算法，下面分別對(duì)這兩類算法進(jìn)行介紹，并對(duì)各類中的幾種典型算法進(jìn)行原理分析。分析和評(píng)價(jià)結(jié)果為：RIP和EMN算法均只適用于干涉圖中有多個(gè)干涉條紋的情況，EMN算法精度高，但要求相移量的范圍應(yīng)大于π rad；RIP算法的精度次之，對(duì)相移量的范圍沒有特別的要求；IN算法適用于干涉圖條紋少于一個(gè)的情況，運(yùn)算速度最快，精度也很高；ACA算法精度最高，但其計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng)，且要求相移量的范圍應(yīng)為一個(gè)整周期。表22為本章節(jié)所介紹的幾種相移量提取算法對(duì)不同數(shù)量的實(shí)驗(yàn)相移干涉圖進(jìn)行提取相移量所用的運(yùn)算時(shí)間和其均方根誤差對(duì)比。圖26 RIP算法對(duì)模擬復(fù)雜條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。這是因?yàn)镽IP算法在π rad附近的誤差較大，相移量小于π rad時(shí)，計(jì)算均方根誤差時(shí)，避開了誤差較大的區(qū)域；而此時(shí)干涉圖序列的相移量范圍小于π rad，EMN算法無法準(zhǔn)確定位最大范數(shù)點(diǎn)，IN、ACA算法不能正確標(biāo)定其相應(yīng)范數(shù)最大最小值或單像素光強(qiáng)的最大最小值，使得其均方根誤差增大。此次模擬的干涉圖序列一共有60幅， rad。模擬相移干涉圖的各參數(shù)設(shè)置為：背景項(xiàng)a(x,y)=120exp[(x2+y2)], 調(diào)制幅度b(x,y)=100exp[(x2+y2)], 待測(cè)相位 =4πexp[(x2+y2)], 第n幅相移干涉圖的相移量δn=(n1) rad，≤x,y≤ mm。本節(jié)提出一種基于干涉圖內(nèi)積之比的相移量提取算法(Ratio of Inner Products,簡(jiǎn)稱RIP)，該算法既可以提取多幅干涉圖的相移量，對(duì)相移量的范圍沒有特別的要求，且在只有兩幅干涉圖的情況下，也可以準(zhǔn)確計(jì)算相移量的值。 矩陣1范數(shù)法在上節(jié)我們知道，相移干涉圖之間的差異性與相移量存在一定的聯(lián)系。由于相移干涉圖之間的差異性與相移量有密切的關(guān)系。將公式(21)變換后可得 其中，是每一幅相移干涉圖的相對(duì)待測(cè)相位的大小，它是每幅干涉圖所對(duì)應(yīng)的相移量與待測(cè)相位之和。在相移干涉測(cè)量過程中，由于相移器件和探測(cè)器的誤差以及外界環(huán)境擾動(dòng)等因素的影響，往往使得實(shí)際相移量與理論相移量存在一定的誤差。第五章分析了影響兩步相移算法精度的兩個(gè)主要因素：濾除背景項(xiàng)的方法和相移量的取值范圍。傳統(tǒng)的算法一般需要三幅及三幅以上的相移干涉圖才能準(zhǔn)確并有效地提取相移量或恢復(fù)待測(cè)相位，數(shù)據(jù)量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。雖然這些兩步相移算法幾乎都需要預(yù)先濾除相移干涉圖中的背景項(xiàng)，通常利用高斯高通濾波的方法在頻域中濾除背景項(xiàng)[55, 56]，該濾波方法雖然比較簡(jiǎn)便，卻不能完全濾除干涉圖的直流背景項(xiàng)，這也是影響兩步相移算法所恢復(fù)的相位精度的重要原因之一。近年來，為了降低環(huán)境和空氣擾動(dòng)對(duì)測(cè)量精度的影響，降低測(cè)量系統(tǒng)復(fù)雜性，以及減少提取相移量和恢復(fù)相位的計(jì)算量，提高運(yùn)算速度，許多兩步相移算法相繼而出[4454]。為此，許多相移量提取算法已經(jīng)被提出[3137]。此后，為了進(jìn)一步提高相移干涉測(cè)量的精度，國(guó)內(nèi)外的研究者們做了大量的研究工作[24]，歸納起來基本可以分為兩大類：一是對(duì)硬件的研究，即優(yōu)化相移干涉測(cè)量的實(shí)驗(yàn)裝置和光學(xué)系統(tǒng)，使用更好的光學(xué)元件或設(shè)計(jì)更好的光學(xué)系統(tǒng)，降低因元件缺陷而帶來的測(cè)量誤差，盡量減少測(cè)量過程中的環(huán)境和其他因素的干擾[25]，或?qū)Ω蓴_造成的誤差進(jìn)行校正[26, 27]。空間載頻相移法是采用兩個(gè)窗函數(shù)卷積原干涉圖，從而產(chǎn)生多幅相移干涉圖，并使用時(shí)間相移法的公式進(jìn)行恢復(fù)相位。相移干涉測(cè)量技術(shù)(PhaseShifting Interferometry，簡(jiǎn)稱PSI)是光學(xué)干涉測(cè)量中的重要技術(shù)[4]，其測(cè)量的基本原理是：在光學(xué)系統(tǒng)的參考光路中加入相移器件（如壓電陶瓷微位移器(PZT)、半波片、1/4波片、偏振片或衍射光柵等），使其有序地改變參考光波和物光波之間的光程差，即產(chǎn)生了相移。4. 研究了兩步相移算法所恢復(fù)的相位精度和全局符號(hào)與相移量的取值范圍之間的關(guān)系。分類號(hào) 密級(jí) 公開 UDC 學(xué)號(hào) 2012021579 碩士學(xué)位論文相移干涉測(cè)量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究學(xué)位申請(qǐng)人： 牛 文 虎 專業(yè)名稱： 光學(xué)工程 研究方向： 微納成像檢測(cè)與應(yīng)用 所在院系： 信息光電子科技學(xué)院 導(dǎo)師姓名及職稱： 呂曉旭 教授 論文提交日期： 2015年5月20日 相移干涉測(cè)量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究專業(yè)名稱：光學(xué)工程申請(qǐng)者姓名：牛 文 虎導(dǎo)師姓名：呂 曉 旭摘要 相移干涉測(cè)量技術(shù)作為一種高精度的光學(xué)干涉測(cè)量手段，在光學(xué)測(cè)量與檢測(cè)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。3. 介紹了幾種常見的濾除干涉圖背景項(xiàng)的方法和原理，并結(jié)合兩步相移算法分析了各方法的濾波效果。光學(xué)干涉測(cè)量具有非介入、非接觸、非干預(yù)、非掃描、快速、全場(chǎng)、三維成像等特點(diǎn)，既可以利用物體的反射光進(jìn)行測(cè)量，也可以利用物體的透射光進(jìn)行測(cè)量，不僅測(cè)量精度高，可以達(dá)到橫向亞微米、縱向亞納米量級(jí)的高分辨率[2, 3]，而且光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低，因此在表面形貌測(cè)量領(lǐng)域受到了研究者們的極大關(guān)注，并得到了迅速的發(fā)展。該方法可以用來測(cè)量動(dòng)態(tài)過程，但其測(cè)量系統(tǒng)比較復(fù)雜，精度方面也不如時(shí)域相移法高。Bruning于1974年利用通訊信息理論中的同步檢波技術(shù)[23]，使相移干涉測(cè)量對(duì)光學(xué)元件的測(cè)量精度達(dá)到了1/100個(gè)波長(zhǎng)量級(jí)。提取干涉圖之間的相移量，可以用來測(cè)定微位移器的步進(jìn)或物體的整體平移距離，標(biāo)定相移器件的誤差和非線性，也可以為需要相移量已知的傳統(tǒng)相位恢復(fù)算法提供先決條件。上述提取相移量和恢復(fù)相位的算法，都要求三幅或三幅以上干涉圖才能進(jìn)行有效的計(jì)算。該算法速度快，精度高，并且在干涉圖的條紋數(shù)少于1個(gè)的情況下，也能準(zhǔn)確地恢復(fù)待測(cè)相位并提取相移量。因此，如何準(zhǔn)確并快速地提取相移量及恢復(fù)待測(cè)相位是相移干涉測(cè)量技術(shù)中的兩個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。第四章對(duì)兩步相移恢復(fù)相位的算法進(jìn)行了概述，分別介紹了施密特正交化算法、相關(guān)系數(shù)算法和干涉極值法，闡述了這三種現(xiàn)有的兩步相移算法恢復(fù)相位的基本原理，并提出了改進(jìn)的施密特正交化算法和基于干涉圖內(nèi)積之比的兩步相移算法；通過計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式，將幾種兩步相移算法的性能進(jìn)行了比較，并分析其優(yōu)缺點(diǎn)。相移量一般是由PZT、半波片或1/4波片、偏振片等相移器件引入的。通常認(rèn)為，對(duì)于一幅干涉圖來說，其每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相移量的值是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，與像素點(diǎn)的空間位置無關(guān)，相移量是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，它并不影響待測(cè)相位分布的相對(duì)大?。欢尘绊?xiàng)、調(diào)制項(xiàng)與待測(cè)相位在時(shí)間軸上是不變的，他們是像素點(diǎn)的函數(shù)。而相移干涉圖的光強(qiáng)在CCD等探測(cè)器上是以像素點(diǎn)為單位的二維矩陣形式記錄的，所以歐幾里德矩陣范數(shù)也可以用來度量相移干涉圖之間的差異性。由公式(214)可得，相移量可由反正弦函數(shù)計(jì)算得出 綜上所述，歐幾里德矩陣范數(shù)法(EMN)提取相移量的步驟為：(1) 分別計(jì)算第1幅相移干涉圖的光強(qiáng)矩陣與第n幅相移干涉圖的光強(qiáng)矩陣之間的歐幾里德矩陣范數(shù)；(2) 尋找出所得的歐幾里德矩陣范數(shù)中的最大值，再通過公式(215)提取相移干涉圖之間的相移量。 本文提出的相移量提取算法不論是反余弦算法、歐幾里德矩陣范數(shù)法，還是矩陣1范數(shù)法，都需要采集多幅相移干涉圖才能進(jìn)行有效地提取相移量，在僅有兩幅干涉圖的情況下，這三種算法都無法進(jìn)行計(jì)算。 相移量提取算法的比較 計(jì)算機(jī)模擬為了驗(yàn)證本文提出的相移量提取算法的速度和精度，并分析其相對(duì)于其他算法的優(yōu)缺點(diǎn)，本文根據(jù)相移干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)式模擬了60幅相移干涉圖，尺寸為300300pixels，如圖21所示。(a)每幅干涉圖對(duì)應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預(yù)設(shè)值之間的差值。但當(dāng)相移量的范圍小于π rad時(shí)（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。圖25 模擬復(fù)雜條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels， rad。(a)每幅實(shí)驗(yàn)干涉圖所對(duì)應(yīng)的相移量；(b)所提取的相移量與參考值之間的誤差。表 22 幾種算法對(duì)不同數(shù)量的實(shí)驗(yàn)相移干涉圖進(jìn)行相移量提取的運(yùn)算時(shí)間及其均方根誤差對(duì)比Interferogram numberRIPINEMNTime (s)504020102RMSE (rad)504020102通過對(duì)計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總結(jié)和歸納，本文以各算法的速度、精度及其使用條件為依據(jù)，對(duì)這幾種方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)，如表23所示。非定步長(zhǎng)相移算法就更靈活了，它對(duì)相移量的值和相移步進(jìn)都沒有要求，即可以在相移量和相移步進(jìn)完全未知的情況下進(jìn)行計(jì)算。一般來說，干涉圖數(shù)量較多的時(shí)候，其精度較高。通過最小二乘誤差估計(jì)算法，可以求出公式(317)中的這些未知量。最小二乘誤差可以表示為 根據(jù)最小二乘法則，需要滿足以下式子 由上式可得 其中 從公式(328)(331)可以解出未知量 ，進(jìn)而求出相移量 第三步：收斂條件該算法需進(jìn)行迭代計(jì)算，先設(shè)定相移量的值，假定相移量的值為已知，通過第一步得到待測(cè)相位的值，再將該待測(cè)相位作為已知條件進(jìn)行第二步的計(jì)算，得到相移量的值，然后將第二步求得的相移量值作為已知量，代入第一步并重復(fù)第一步和第二步的計(jì)算，循環(huán)往復(fù)，直到相移量的值收斂，迭代計(jì)算停止。因此，利用主成分分析方法可提取相移干涉圖中的兩個(gè)正交信號(hào)，進(jìn)而通過一個(gè)反正切函數(shù)來恢復(fù)待測(cè)相位。分別加入不同噪信比等級(jí)的噪聲，對(duì)比幾種多步相移算法的均方根誤差，結(jié)果如表31所示。該測(cè)量過程中恢復(fù)待測(cè)相位所用到的算法，我們將其簡(jiǎn)稱為兩步相移算法。濾除背景項(xiàng)的干涉圖由兩個(gè)正交信號(hào)組成。 干涉極值法由上述分析可知，在兩步相移干涉測(cè)量中，濾除背景項(xiàng)的兩幅相移干涉圖分別表示為 k為像素點(diǎn)的坐標(biāo)，且待測(cè)相位與相移量之間的關(guān)系為 只要確定相移量的值，就能夠由公式(431)恢復(fù)出待測(cè)相位。改進(jìn)的方法先通過施密特正交化中的兩向量的關(guān)系來