【正文】 有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立。　　假如一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)()，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量，或離散型隨機(jī)變量?！　?2)一臺電視機(jī)的壽命X(單位:小時(shí))是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機(jī)變量:“X=0”表示事件“一臺電視機(jī)在開箱時(shí)就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機(jī)壽命不超過10000小時(shí)”，“X40000”表示事件“電視機(jī)壽命超過40000小時(shí)”?！　?2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量來敘述它們的分布，因?yàn)檫@兩類隨機(jī)變量是最重要的兩類隨機(jī)變量，而它們的分布形式是有差別的。Y取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下分布列:　　這個(gè)分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是表示質(zhì)量特性X隨機(jī)取值內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性?！　〉貐^(qū)(b)?！　【涤脕肀硎痉植嫉闹行奈恢茫肊(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機(jī)變量X的平均值為5?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機(jī)的維修時(shí)間T的均值為:　　　　這表明推土機(jī)發(fā)生故障時(shí)，平均維修時(shí)間是50分鐘。這要求:　　(1)偏差x1E(X)小，相應(yīng)概率pi可以大一些；　　(2)偏差xiE(X)大，相應(yīng)概率pi必定小?！　∽⒁?方差的這個(gè)性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場合，即對任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)，而應(yīng)該是　　或者說，對相互獨(dú)立隨機(jī)變量來說，其方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性　　四、常用分布　　(一)常用的離散分布　　這里將給出三個(gè)常用的離散分布，它們是二項(xiàng)分布、泊松分布與超幾何分布。類似可計(jì)算X=0，X=1，…，X=6的概率，計(jì)算結(jié)果可列出一張分布列，具體如下:　　=6的概率取前4位小數(shù)的有效數(shù)字為零，實(shí)際它的概率為P(X=6)=，并不恰為零?！　≡趯?shí)際中經(jīng)常要求形如“X≤x”的概率，在概率論中把事件“X≤x”的概率稱為X的分布函數(shù)，記為F(x)，即:　　F(x)=P(X≤x)　　二項(xiàng)分布的分布函數(shù)已編制了數(shù)表，詳見附表11，此表可幫助我們計(jì)算，例如從附表11中可查得:　　P(X≤1)=，P(X≤4)=　　于是可算得:　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)P(X≤1)==　　(3)二項(xiàng)分布b(6，)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np=6=　　Var(X)=np(1p)=6=　　　　　　泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布?！　≡O(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個(gè)不合格品?！　　　≌龖B(tài)分布含有兩個(gè)參數(shù)μ與σ，常記為N(μ，σ2)。一些質(zhì)量特性的不合格品率均要通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得。　　　　(5)P(|U|≤a)=2Φ(a)1()。　　當(dāng)α，譬如α=，=?！　　　⌒再|(zhì)2:設(shè)X～N(μ，σ2)，則對任意實(shí)數(shù)a，b有:　　　　其中Φ(　　為了具體說明不合格品率的計(jì)算，可看下面的例子?？估瓘?qiáng)度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TL=33kg/cm2。它們有如下共同特點(diǎn):　　(1)這些隨機(jī)變量都在正半軸(0，∞)上取值。它告訴人們:在一定條件下，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值(仍然是一個(gè)隨機(jī)變量)，服從或近似服從正態(tài)分布?！　】傮w是人們研究對象的全體，它由個(gè)體所組成，當(dāng)從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測時(shí)，所得的觀測值隨個(gè)體而異，因此總體對應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會入樣。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實(shí)際總體。有時(shí)為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示。　　(二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機(jī)抽取的，因此與表示總體的隨機(jī)變量X的均值μ之間一定存在某種內(nèi)在的聯(lián)系。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計(jì)μ沒有用n=10的樣本的平均數(shù)來估計(jì)精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10?！　‘?dāng)σ已知時(shí)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得:　　　　當(dāng)σ未知時(shí)，很自然的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的σ，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)。F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。在統(tǒng)計(jì)中，估計(jì)就是根據(jù)樣本來推斷總體分布的未知成分。在本教材中，除討論統(tǒng)計(jì)量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計(jì)量及具體估計(jì)值，通稱為估計(jì)。但是經(jīng)過簡單的代數(shù)推導(dǎo)，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項(xiàng)表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當(dāng)B()=0，也即:　　E()=θ時(shí)，稱估計(jì)量是無偏的。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。有效性是判定估計(jì)量優(yōu)良性的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實(shí)際上是平均平方誤差的意思。根據(jù)這個(gè)樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量=(X1，X2，…，Xn)，用來對θ進(jìn)行估計(jì)，稱為θ的估計(jì)量。在質(zhì)量活動(dòng)和管理實(shí)際中，人們關(guān)心的是諸如特定產(chǎn)品的質(zhì)量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個(gè)樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個(gè)樣本，這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析中將起重要作用。這表明當(dāng)用估計(jì)μ時(shí)，n愈大，精度就愈高?！　〉谝还?jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計(jì)量?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機(jī)樣本?！　M足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本?！　∫?、隨機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機(jī)變量及其分布的概念。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時(shí)，104小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時(shí)間的7倍多，可見對數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布。這里“均勻”是指隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現(xiàn)規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標(biāo)上，該部件的不合格品率為968ppm?！　∶鞔_了這兩點(diǎn)后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為:　　p=pL+pU　　其中pL為X低于下規(guī)范限的概率，pU為X高于上規(guī)范限的概率()，即:　　　　　　其中Φ(這里標(biāo)準(zhǔn)化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。用概率的語言表示，U的α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實(shí)數(shù):　　P(U≤uα)=α　　　　分位數(shù)uα亦可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表從里向外查得，尾數(shù)可用內(nèi)插法得到，:　　= =　　，=?！　?3)Φ(a)=1Φ(a)()。它是特殊的正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量也記為U，它的概率密度函數(shù)記為ψ(u)。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質(zhì)量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性?！　　　?2)在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故超過2起的概率為:　　P(X2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)　　=1〔P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]　　=1(++)= 這表明。通過計(jì)算可畫出其線條圖((b))，此圖是對稱的，如P(X=2)=P(X=4)=。　　在上述四個(gè)條件下，設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，顯然X是可以取0，1，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的概率函數(shù)為:　　　　　　二項(xiàng)分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np　　Var(X)=np(1p)　　　　[]在一個(gè)制造過程中，如今從成品中隨機(jī)取出6個(gè)，記X為6個(gè)成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布b(6，)，簡記為X～b(6，)?！　?3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立(即X1取什么值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性)，則有:　　Var(X1177?！　∮煞讲畹亩x知:　　其中xi=i?！　≡凇瞉中隨機(jī)變量“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和Y”的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　計(jì)算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和的均值為7點(diǎn)、。類似地，該推土機(jī)發(fā)生故障而在100到300分鐘內(nèi)完成維修的概率為:　　　　該推土機(jī)發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計(jì)算結(jié)果表明:%故障可在100分鐘內(nèi)修好，%的故障可在100 到300分鐘內(nèi)修好，%。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請讀者在圖上標(biāo)明)。　　假定我們一個(gè)接一個(gè)地測量產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值X，把測量得到的x值一個(gè)接一個(gè)地放在數(shù)軸上。X取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現(xiàn)的機(jī)會最大。　　二、隨機(jī)變量的分布　　隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律性可以用分布來描述。因?yàn)閄取0，1，2，…等值是隨機(jī)的?！　∫?、隨機(jī)變量　　用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量?！　、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個(gè)條件概率也可以這樣來認(rèn)識:當(dāng)已知事件B發(fā)生，就意味著其對立事件是不會發(fā)生了。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小。這項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)鍵盤設(shè)計(jì)(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的。　　〔]說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，(正面)的變化情況，在重復(fù)次數(shù)N較小時(shí)，f波動(dòng)劇烈，隨著N的增大，f波動(dòng)的幅度在逐漸變小。再考慮到不合格品出現(xiàn)次序(不合格品可能在第一次抽樣出現(xiàn)，也可能在第二次抽樣中出現(xiàn)，…，也可能在第n次抽樣中出現(xiàn))故B1所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有nM(NM)n1。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)，不放回，再抽下一個(gè)，這相當(dāng)于n個(gè)同時(shí)取出。依據(jù)乘法原則，事件A1共含　　個(gè)樣本點(diǎn)?！　　瞉一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率是多少?　　從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有　　個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問題的樣本空間Ω。若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個(gè)，記為Pn，即:　　P＇n=n(n1)…(nr+1)，pn=n!　　(4)重復(fù)排列:從n個(gè)不同元素中每次取出一個(gè)作記錄，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列?！　　　∮霉诺浞椒ǐ@得概率常需要排列與組合的公式。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。而在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們很關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小?！　　　?2)事件A與B的并，由事件A與B中所有樣本點(diǎn)(相同的只計(jì)入一次)組成的新事件稱為A與B的并，記為AUB?！　蓚€(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容，例如在檢查三個(gè)產(chǎn)品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒有不合格品”是四個(gè)互不相容事件?！　‖F(xiàn)在我們轉(zhuǎn)入考察“檢查三件產(chǎn)品”這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，它的樣本空間Ω含有23=8個(gè)樣本點(diǎn)。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個(gè)必然事件。這里的基本結(jié)果是指今后的抽樣單元，故又稱樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω。　　一、事件與概率　　(一)隨機(jī)現(xiàn)象　　在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。　　樣本方差正的算術(shù)平方根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即:　　　　注意標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致。也有一些用來表示數(shù)據(jù)內(nèi)部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本變異系數(shù)?！　∨c均值相比，中位數(shù)不受極端值的影響?！　∪?、數(shù)據(jù)集中位置的度量　　對一組樣本數(shù)據(jù)，可以用一些量表示它們的集中位置。這是因?yàn)榉纸M是等距的。對于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個(gè)整數(shù)值。　　〔]食品廠