正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的推廣本科畢業(yè)論文(存儲(chǔ)版)
【正文】 斂，則級(jí)數(shù)也收斂；(ii)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散．定理設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)q（0q1）(i)若對(duì)一切n,成立不等式 則級(jí)數(shù)收斂．(ii)若對(duì)一切n,成立不等式 則級(jí)數(shù)發(fā)散．定理若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則 (i)當(dāng)q1 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(ii)當(dāng)q1或q=時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散． 2達(dá)朗貝爾判別法的推廣與應(yīng)用2．1達(dá)朗貝爾判別法的一類推廣與應(yīng)用由達(dá)朗貝爾判別法判別法極限形式知，當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，我們無法直接用達(dá)朗貝爾判別法判別法判斷其斂散性，此時(shí)這種判別法失效，為了解決這一問題，給出新的判別法．新的判別法適用條件更廣，運(yùn)算更簡潔．2．1．1達(dá)朗貝爾判別法判別法的第一種推廣引理正項(xiàng)級(jí)數(shù)若，且則(i) 當(dāng)p時(shí)，則級(jí)數(shù)收斂(ii) 當(dāng)p時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散定理1 若，則級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂（其中m是大于1的正整數(shù)）證明：（1）設(shè)則( )+()+()++()++=所以若級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)也收斂；（2）= =所以若級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)也發(fā)散．由（1）（2）得，級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂．對(duì)于一般項(xiàng)收斂較慢的級(jí)數(shù)，定理1給出了一個(gè)判別法，觀其條件還可以進(jìn)行推廣，得到更一般的形式，用定理的形式敘述如下：定理2：正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，存在，使得，則（1）當(dāng)p時(shí)，則級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)p時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散證明：令，由定理知 與同收斂，與同收斂，所以與同收斂所以 即 =當(dāng) 當(dāng) 時(shí)，,故級(jí)數(shù)收斂，從而收斂。 The American Mathematical Monthly, Vol． 71, No． 3 (Mar．, 1964), pp． 294295[13]Markus M252。ummation of Series of Positive Terms by Condensation Transformations[J]。 第 18 頁 共 18頁正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的推廣摘要：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法在級(jí)數(shù)的收斂法中占有極其重要的地位．常見的判別法有比較判別法，達(dá)朗貝爾比值判別法，柯西判別法，高斯判別法,柯西積分判別法等．對(duì)于上述判別法，它們都有一定的條件限制，為了找到更簡單，適用條件更廣的判別法，國內(nèi)外學(xué)者或者在一般判別法的基礎(chǔ)上做了推廣或者提出了一些新的判別法．近幾年，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法又有了一些新的研究，主要是針對(duì)一些新判別法的適用條件進(jìn)行了討論．本文主要分兩部分對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法進(jìn)行了推廣，第一部分對(duì)比值判別法進(jìn)行了推廣，給出了比值判別法在失效情況下的判別方法，這也是本文的主要部分，第二部分對(duì)比較判別法進(jìn)行了推廣．這些推廣的新的判別法解決了原判別法的條件限制，使其更具一般性，適用性更廣．關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級(jí)數(shù)；收斂性；發(fā)散性；判別法A Generalization of Convergence Criterion for Positive ProgressionsYang Rui(0301 Mathematics and Applied Mathematics School of Science )The instructor: Song WenqingAbstract: Convergence Criterion for Positiv
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