【正文】 .、乙兩人投籃，,今各投3次，求：（1） 兩人投中次數(shù)相等的概率。,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 （小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥，允許σ最大不超過(guò)多少？【解】 故 F（x）=（1） 求常數(shù)A，B；（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；（3） 求分布密度f(wàn)（x）.【解】（1）由得（2） (3) f（x）=求X的分布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x1時(shí) 當(dāng)1≤x2時(shí) 當(dāng)x≥2時(shí)故 （1） f(x)=ael|x|,λ0。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。(x)不是密度函數(shù)。由X~N（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).【解】因?yàn)镻（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY（y）=P(Y≤y)=0. 當(dāng)e2ye4時(shí)， 當(dāng)y≥e4時(shí)，即 故 fX(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考)【解】P（Y≥1）=1當(dāng)y≤1時(shí)，當(dāng)y1時(shí)， 即 故 fX(x)=,求Y=1的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 （t）服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當(dāng)t0時(shí)，當(dāng)t≥0時(shí)，事件{Tt}與{N(t)=0}等價(jià)，有即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。當(dāng)t≥0時(shí)，利用卷積公式得故得由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故Z~N（0，1）.因 而 ，所以 .(0p1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，求E（X）和D（X）. 【解】記q=1 p,X的概率分布為P{X=i}=qi 1p,i=1,2,…，故又 所以 題29圖（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY) E(X)P(B)所以，|ρ|≤1.36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度f(wàn)Y(y)；(2) Cov(X,Y)。（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 ，其中9個(gè)合格品，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P由此可得 （以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 200元 故 (元).，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.（1） 驗(yàn)證=μ， =；（2） 驗(yàn)證S2=；（3） 驗(yàn)證E（S2）=σ2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 ，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= 1,計(jì)算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時(shí)， 當(dāng)|y|≤1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.（X，Y）的分布律為XY 1 0 1 1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表116X 101 PY 101 PXY 101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)（λ），每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買(mǎi)該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有 此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0y1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即Y~U（0，1）f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0≤k≤1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時(shí)P（Xk）=若1≤k≤3時(shí)P（Xk）=若3k≤6，則P（Xk）=若k6,則P（Xk）=1故只有當(dāng)1≤k≤3時(shí)滿足P（X≥k）=.F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X113P，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】~N（2，σ2），且P{2X4}=，則P{X0}= . 【解】故 因此 ，；，(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求（1） 全部能出廠的概率α；（2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ. 【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，）,故 ，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則X~N（72，σ2）故 查表知 ,即σ=12從而X~N（72，122）故 、200V~240V和超過(guò)240V三種情形下，（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求：（1） 該電子元件損壞的概率α。(C) [π/2,0]。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。 (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)， 故 ，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開(kāi)始150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率；（2） 在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x100時(shí)F（x）=0當(dāng)x≥100時(shí) 故 ［0，a］上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在［0，a］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X~∪[0,a]，密度函數(shù)為故當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x≤a時(shí)當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)（x）=1即分布函數(shù)[2，5]，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為（以分鐘計(jì)），以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為,即其分布律為，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車(chē)開(kāi)車(chē)只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車(chē)的把握大些？（2） 又若離火車(chē)開(kāi)車(chē)時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車(chē)把握大些？【解】（1） 若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車(chē)的把握大些.（2） 若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則 故走第一條路乘上火車(chē)的把握大些.~N（3，22），（1） 求P{2X≤5}，P{4X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3}。（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來(lái)考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為