二次函數(shù)和冪函數(shù)知識點(存儲版)
【正文】 像關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是 ( )A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1答案 A解析 函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像的對稱軸為x＝－，且只有一條對稱軸，所以－＝ 1，即m＝－2.題型一 求二次函數(shù)的解析式例1 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)．思維啟迪：確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種形式，可根據(jù)條件靈活運用．解 方法一 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，依題意有解之，得∴所求二次函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對稱軸為x＝＝.∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三 依題意知，f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高 二次函數(shù)有三種形式的解析式，要根據(jù)具體情況選用：如和對稱性、最值有關(guān)，可選用頂點式；和二次函數(shù)的零點有關(guān)，可選用零點式；一般式可作為二次函數(shù)的最終結(jié)果． 已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值為15；(3)f(x)＝0的兩根平方和等于17.求f(x)的解析式．解 依條件，設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋15 (a0)，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2＝2－＝17，∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13.題型二 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)例2 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)當(dāng)a＝－2時，求f(x)的最值；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng)a＝1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間．思維啟迪：對于(1)和(2)可根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系直接求解，對于(3)，應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)定義域的限制作用．解 (1)當(dāng)a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖像開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時定義域為x∈[－6,6]，且f(x)＝，∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6]，單調(diào)遞減區(qū)間是[－6,0]．探究提高 (1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱軸進(jìn)行分析討論求解． 若函數(shù)f(x)＝2x2＋mx－1在區(qū)間[－1，＋∞)上遞增，則f(－1)的取值范圍是____________．答案 (－∞，－3]解析 ∵拋物線開口向上，對稱軸為x＝－，∴－≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3
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