【正文】 tems[J]. Physical Review Letters, 1990, 64: 821 824. [4] 張順燕 . 數(shù)學(xué)的 源與流 [M] . 北京 : 高等教育出版社 ,20xx. [5] PECORA L M, CARROLL T L. Synchronization in chaoticsystems[J]. Phys Rev Lett, 1990, 64: 821824. [6] Yan J J. Design of robust controllers for uncertain chaotic systemswith nonlinear inputs[J ]. Chaos , Solitons amp。 對(duì)此，我們將這 篇論文分五部分展開(kāi)：第一部分作為引言部分 ，主要介紹選題的研究背景與 意義。 11級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)院 A班 木三刀 畢業(yè)論文 院系名稱 數(shù)學(xué)學(xué)院 20xx 年 5 月 28 日 目 錄 論文題目 GenesioTesi 混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究 學(xué)生姓名 達(dá)亞偉 學(xué) 號(hào) 20xx6303 專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 092班 指導(dǎo)教師 李慧民 中 文摘要 ............................................................ 1 英文摘要 ............................................................ 2 1 引言 .............................................................. 3 2 混沌 混沌的發(fā)展簡(jiǎn)史 ................................................ 4 混沌的定義 .................................................... 5 混沌的基本特征 ................................................ 6 3 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性的定義 .................................................. 7 線性近似的局部穩(wěn)定性 .......................................... 8 Lyapunov 函數(shù)方法 ............................................. 10 臨界情形 ...................................................... 13 4 正文 GenesioTesi 混沌系統(tǒng) ........................................... 17 GenesioTesi 混沌系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性的討論 ......................... 17 GenesioTesi 混沌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性的討論 ......................... 21 結(jié)論 ................................................................ 25 致謝 ................................................................ 25 參考文獻(xiàn) ............................................................ 26 GenesioTesi 混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析研究 摘要 :本篇論文主要討論和研究了 GenesioTesi 混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)控制器，利用 Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性理論并通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明得到自適應(yīng)同步的充分條件。 第四章 舉例 在本章中，我們將用具體的數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證本文的理論結(jié)果。 在本問(wèn)中我們假設(shè) ）（ H ? ? ? ? 2)()( tethetehtra ce ??? 下面關(guān)于向量形式的 Brownian 運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)將要在本文中用到： (a) dttehteht r ac edtehdtehEdtehE iiiiiiii ))](())(([]]))(([]))(([[,0]))(([ ?? ?? ??? (b) 假設(shè) ),( txVV? 是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，其中 ?? ),( 321 xxxx 得到 V 的微分形式為 jiji jiii i dxdxxx VdxxVdttVdV ?? ?? ?? ????????31,231 21 在上述方程中，運(yùn)用到下面的代數(shù)運(yùn)算)(0,0,0,0 lkddddddtdtdt ilikijijij ????????? ?????且 )(ti? 和 )3,2,1,)(( ?jitj? 是獨(dú)立的過(guò)程，因此 0?? ilik dd ?? 對(duì)于 ji? 和任意的)3,2,1(, ?lk 。要實(shí)現(xiàn) 此目的，在本文中，我們將設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器 。，dtbxxxdxdtxxxrxdxdtxxdx)()()]([321331212121 ? （ 23） 即 dttxftAxtdx ))](()([)( ?? ， 其中??????????????brA00010?? ， ? ???? 21310)( xxxxxf ， ?? ),( 321 xxxx 為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量， 0, r, b?? 為實(shí)數(shù)。 第二章 準(zhǔn)備工作 設(shè)一個(gè)非線性系統(tǒng)： ()x f x? ， （ 21） 其中 , nRx? 為狀態(tài)向量 , nn RRf ?: 是 一 個(gè)光滑的非線性映射。 控制系統(tǒng)的一個(gè)魯棒性是指控制系統(tǒng)在某種類型的擾動(dòng)作用下，包括自身模型的擾動(dòng)下，系統(tǒng)某個(gè)性能指標(biāo)保持不變的能力。在實(shí)際問(wèn)題中，系統(tǒng)特性或參數(shù)的攝動(dòng)常常是不可避免的。所以，在本文中，我們還考慮了噪聲對(duì)混沌同步的影響，這樣就更符合實(shí)際應(yīng)用。這種信號(hào)就是按照前述的 OGY控制方法設(shè)計(jì)的一種方案來(lái)產(chǎn)生的。但是，我們認(rèn)為這是朝著解決問(wèn)題的一種研究方向，或換句話說(shuō)，時(shí)空混沌的控制與同步的研究應(yīng)當(dāng)把這一難題包括在自己的研究目標(biāo)范疇內(nèi)。這是因?yàn)樵瓉?lái)不加控制時(shí)由于混沌的緣故只能在有限的功率范圍內(nèi)維持穩(wěn)定，跟蹤控制加上去后，可以自動(dòng)補(bǔ)償系統(tǒng)時(shí)間演化而產(chǎn)生的參數(shù)變化或其它因素所導(dǎo)致的參數(shù)慢變，進(jìn)而消除了激光混沌，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高周期的穩(wěn)定控制。這幾年 ,已提出了一些混沌同步開(kāi)關(guān)方法 [30]。從理論上講 ,混沌序列是非周期序列 ,具有逼近于高斯白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性 ,并且混沌序列 數(shù)目眾多 ,更適合于作擴(kuò)頻通信的擴(kuò)頻碼。最早提出的驅(qū)動(dòng) — 響應(yīng)同步法與變型及隨后的主動(dòng) 被動(dòng)法都屬于混沌遮掩方案 ,其他的有串聯(lián)法混沌掩蓋方案及改進(jìn)方案和單向耦合法混沌掩蓋方案等。 (4) 設(shè)備成本低等。 混沌同步的應(yīng)用 混沌同步是現(xiàn)在各學(xué) 科領(lǐng)域中的一個(gè)熱門(mén)課題，各種混沌同步方法的提出與實(shí)現(xiàn)，使混沌同步在物理、保密通信、生物學(xué)、信息科學(xué)、化學(xué)反應(yīng)等領(lǐng)域有了廣泛的應(yīng)用情景。一種方法就是用經(jīng)典的控制方法來(lái)確定反饋控制量 [23]。 所謂主從同步，就是由兩個(gè)混沌方程組成。響應(yīng)系統(tǒng)利用接收到的信號(hào)來(lái)驅(qū)動(dòng)自己，使自己的狀態(tài)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)一致。這種有序 性表現(xiàn)為 , 第一 , 混沌內(nèi)部有結(jié)構(gòu) , 而且在不同層次上結(jié)構(gòu)具有相似性 , 即所謂的自相似性。 (4) 對(duì)初始條件的敏感依賴性 對(duì)初始條件的敏感依賴性或?qū)π_動(dòng)的極端敏感性又稱為蝴蝶效應(yīng)， 是混沌系統(tǒng)的典型特征。 (3) f 具有對(duì)初始條 件的敏感依賴性。 此定義中，由于前兩個(gè)極限說(shuō)明子集的點(diǎn) 1X ， SX?2 相當(dāng)分散而又相當(dāng)集中；第三個(gè)極限說(shuō)明子集不會(huì)趨近于任意周期點(diǎn)，所以這個(gè)定理本身只預(yù)言有非周期軌道存在，既不涉及這些非周期點(diǎn)的集合是否具有非零測(cè)度，也不涉及哪個(gè)周期是穩(wěn)定的。目前還注意集中在時(shí)間混沌的研究上，其他類型的混沌控制尚待展開(kāi)。 可以說(shuō)，混沌表示某種混亂的，不清楚的或不規(guī)則的現(xiàn)象，表現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的復(fù)雜性，隨機(jī)性和無(wú)序性。同時(shí)指出混沌同步在一定的條件下具有較強(qiáng)的魯棒性 [5]。他的普適性的研究使混沌確定了其固定的地位。 1903 年 , 美國(guó)數(shù)學(xué)家 Poincare J . 《科學(xué)與方法》中提出了 Poincare 猜想。 第二章 準(zhǔn)備工作 保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果。最后應(yīng)用數(shù)值仿真，表明所設(shè)計(jì)的混沌控制器的可行性。 混沌同步控制 21 致謝 第一章 引言 混沌系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀 所謂混沌是指確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無(wú)規(guī)則、類似隨機(jī)的現(xiàn)象，是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種運(yùn)動(dòng)形式，是非線性科學(xué)的重要成果之一。 1970 年美國(guó)科學(xué)史家 Kuhn T. S. 的《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》一書(shū) , 對(duì)混沌理論的發(fā)展起到推波助瀾的作用。這拓展了又一重要的應(yīng)用領(lǐng)域 , 從此 Mandelbrot 集成了混沌的一種公認(rèn)標(biāo)志。 國(guó)內(nèi)混沌學(xué)的發(fā)展 1986年中國(guó)第一界混沌會(huì)議在桂林召開(kāi) ,中國(guó)科學(xué)家徐京華在全世界第一個(gè)提出三種神經(jīng)細(xì)胞的復(fù)合網(wǎng)絡(luò) ,并證明它存在混沌 ,指出人腦可看成是復(fù)雜的多層次混沌動(dòng)力系統(tǒng) ,腦功能的物理基礎(chǔ)是混沌性質(zhì)的過(guò)程。 然而產(chǎn)生混沌的機(jī)制往往又是簡(jiǎn)單的非線性，是絲毫不帶隨機(jī)因素的固定規(guī)則。如果存在不可數(shù)集合 IS? 滿足： (1) S 不包含周期點(diǎn)。 1989 年 Devaney R L 給出了混沌的又一種定義： 設(shè) X 是一個(gè)度量空間。從事不同領(lǐng)域研究的科學(xué)家都是基于各自對(duì)混沌的理解進(jìn)行研究并謀求各自的應(yīng)用。 (5) 極為有限的可預(yù)測(cè)性 混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)的一種內(nèi)在隨機(jī)性 , 它的確定性是因?yàn)樗鼉?nèi)在的原因 , 而非受外界干擾而產(chǎn)生的 。例如，螢火蟲(chóng)的同步發(fā)光，夏日夜晚的青蛙齊鳴，心肌細(xì)胞和大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步，演出結(jié)束后觀眾節(jié)奏趨于同步等等。它的基本原理是這樣的。而響應(yīng)系統(tǒng)利用接收到的信號(hào)來(lái)驅(qū)動(dòng)，使自己的狀態(tài)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)趨于一致，達(dá) 到同步狀態(tài)。變結(jié)構(gòu)控制策略的設(shè)計(jì)涉及滑動(dòng)面和控制的選取。 Carroll和 Pecoea所在的研究組正在加緊研究中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一種混沌系統(tǒng)就象一個(gè)鎖相環(huán)路一樣，能與其它裝置一起改變調(diào)頻機(jī)，跟蹤發(fā)射信號(hào)的變化。 (1) 混沌遮掩?；煦缯{(diào)制的基本思想是將一個(gè)信息信號(hào)加密后注入到發(fā)送機(jī) ,由此改變了原混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 ,因而信息信號(hào)被調(diào)制?；煦玳_(kāi)關(guān)技術(shù)又稱混沌鍵控或混沌參數(shù)調(diào)制。據(jù)悉，日本已經(jīng)利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作為大容量動(dòng)態(tài)信息存儲(chǔ)器及高速數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。據(jù)悉，日本已經(jīng)利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作為大容量動(dòng)態(tài)信息存儲(chǔ)器及高速數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。有人預(yù)計(jì)，應(yīng)用時(shí)間混沌為開(kāi)發(fā)混沌計(jì)算機(jī)提供了一種可能性，很可能是繼研究模糊計(jì)算機(jī)之后，為開(kāi)創(chuàng)新型計(jì)算機(jī)提供一種發(fā)展途徑。現(xiàn)在利用混沌控制技術(shù)正在加緊研究一種心臟整律器及去纖維堆顫動(dòng)器。比如說(shuō)，計(jì)算機(jī)軟件在輸入錯(cuò)誤、磁盤(pán)故障、網(wǎng)絡(luò)過(guò)載或有意攻擊情況下，能否不死機(jī)、不崩潰，就是該軟件的魯棒性。對(duì)魯棒性的研究主要限于線性定?？刂葡到y(tǒng)，所涉及的領(lǐng)域包括穩(wěn)定性、無(wú)靜差性、適應(yīng)控制等。魯棒性理論目前正致力于研究多變量系統(tǒng)具有穩(wěn)定魯棒性和品質(zhì)魯棒性的各