數(shù)列中不定方程問題的幾種解題策略(存儲(chǔ)版)
【正文】 列，則，即，化簡(jiǎn)得 （*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾．故與同時(shí)不為0，所以由（*）得因?yàn)?，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)．于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列．如題7中的數(shù)列就是滿足題意的數(shù)列。所以1，3不可能是等差數(shù)列的三項(xiàng)。，是否存在互不相同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，給出滿足的條件；若不存在，說明理由。方法1. 因式分解法：先將不定方程兩邊的數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的乘積，多項(xiàng)式分解為若干個(gè)因式的乘積，再由題意分類討論求解。方法2. 利用整除性質(zhì) 在二元不定方程中，當(dāng)其中一個(gè)變量很好分離時(shí)，可分離變量后利用整除性質(zhì)解決．，問：是否存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：要使得成等差數(shù)列，則即： 即：∵，∴只能取2，3，5 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．點(diǎn)評(píng) 本題利用表示 從而由得到是整數(shù)，于是是4的約數(shù)，從而估計(jì)出可能的所有取
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