【正文】 樣條上給定參數(shù)處的點(diǎn)需要以下三步： 1)找出 u所在的節(jié)點(diǎn)區(qū)段； 2)計(jì)算非零的基函數(shù)； 3)計(jì)算非零基函數(shù)與相應(yīng)控制頂點(diǎn)的乘積和； 例： 令 p =2, U = {0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5}, 計(jì)算 u =5/2處的 B樣條曲線上的點(diǎn)； 因?yàn)? ),[ 54 uuu ? ,并且： 8/1)2/5(,8/6)2/5(,8/1)2/5( 2,42,32,2 ??? NNN可得： PPPC432 818681)2/5( ???除了具有 B樣條曲線的基本性質(zhì)外，還具有如下的特殊性： 1) 若 pn? 且 ? }1,.. .,1,0,.. .,0{ 11 ??? ppU ???則 )(uC 是一 Bezier曲線； 2) PCPC n?? )1(,)0( 03)沿著曲線由 u=0 到 u=1移動(dòng)時(shí)， )(, uN pi 如同一開關(guān)；當(dāng) u 移過一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)， )(, uN pi 關(guān)閉，下一段打開； 4)可利用多重節(jié)點(diǎn)構(gòu)造復(fù)雜的曲線： 如圖所示是一二次曲線， U={0， 0， 0， 1/4， 1/2， 3/4， 1， 1， 1},P2=P3， C(1/2)=P2=P3, C(1/4)到 C(1/2)和 C（ 1/2） 到 C（ 3/4） 分別是兩段直線。 p ，控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù) 1?n , 節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 1?m 具有如下關(guān)系 ： 1??? pnm設(shè) 次數(shù) 圖 B樣條曲線 4． B樣條曲線的性質(zhì) ),[ 1?? ii uuu， 1???? pmip ， )(uC, 位于控制頂點(diǎn) ipi PP ,...,?所建立的凸包內(nèi)； 圖 B樣條曲線凸包性 ： 曲線嚴(yán)格位于控制多邊的凸包內(nèi)；如果 ： )(uC 在每一區(qū)間 ),[ 1?? ii uuu 上都是次數(shù)不高于 p： )(uC 在每一曲線段內(nèi)部是無限次可微的，在定義域內(nèi)重復(fù)度為 k 的節(jié)點(diǎn)處則使 kp? 次可微或具有 kp? ： B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。 設(shè) 階 Bezier曲面 和另一塊 階曲面 拼接： mn ? ),(1 vuSml?),(2 vuS? ? ???? ?nimj mjniijvuvBuBPvuS0 0 ,11,0),()(),(? ? ???? ?limj mjliijvuvBuBPvuS0 0 ,21,0),()(),( 如果下列條件滿足 其中 k為常數(shù) ， 則 和 沿其公共邊界 P（ 1， v） 達(dá)到 G1連續(xù) 。, . . . ,1,0( mjni ??),( vuS ),( 00 vu0j ???nijinij PuBuQ00,0,00 )()(0jniP ji ,. . . ,0},{ 0, ?)(0 vC u)(0 vCu0vv ?),()( 0000 vuSvC u ?DeCasteljauSurf(P, n, m, u, v, S) { /* Compute a point on a Bezier surface */ /* Input : P , n, m, u, v */ /* Output : S */ if(n=m) { for(j=0。()0( 110101 PPnRPPnRnnnn?? ?????????? Bezier曲面 ? 1．定義 在空間給定 個(gè)點(diǎn) 稱下列張量積形式的 一般稱 Pij為 Bezier曲面 的控制頂點(diǎn)；把由兩組多邊形 (i=0, 1, … , n)和 (j=0,1,2, … ., m)組成的網(wǎng)稱為 Bezier曲面 的控制網(wǎng)格，記為 )1()1( ??? mnijP), . . . ,1,0。 i=nk。 例子： 已知三次 Bezier曲線上的四個(gè)點(diǎn)分別為Q0(120,0),Q1(45,0), Q2(0,45),Q3(0,120),它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 0, 1/3, 2/3, 1,反求三次 Bezier曲線的控制頂點(diǎn) 。 先計(jì)算 t=，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo) P()。(0)= Rk p 180。 樣條的插值 ? 樣條的插值 ? 一般：進(jìn)行分段插值（三次曲線，不高不低） – n+1個(gè)控制點(diǎn)將線段分 n段，每段有 4個(gè)待定系數(shù)。 直線上的插值點(diǎn)可以下兩式表示 變換為： 6)易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化計(jì)算； ]1,0[?t]1,0[?t],[ bau ?)()( abaut ???babauaabubuxtbattx?????????)()1()( ? 多條曲線首尾相連形成一條曲線，要求：連接處 具有合乎要求的連續(xù)性 。 幾何不變性 易于定界 ? 工程中，曲線曲面的形狀總是有界的，形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)該易于定界。 插值設(shè)計(jì)方法要求建立的曲線曲面數(shù)學(xué)模型 ， 嚴(yán)格通過已知的每一個(gè)型值點(diǎn) 。 不規(guī)則曲線 ——不能確切給出描述整個(gè)曲線的方程，而是由從實(shí)際測(cè)量中得到的一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)采用曲線擬合的方法來逼近的。 y = y(t) 參變量的規(guī)范化 曲線的繪制方法 ：用很多短直線段來逼近曲線。 插值與擬合 插值 擬合 ? – Example control points. – Joining the control points gives the control polygon. P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 插值與擬合 ? 插值 – Interpolating (through the control points). 擬合 Approximating (near the control points). P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 通過移動(dòng)控制點(diǎn)形成不同的曲線 ? Edit curves by moving control points (click and drag): – Original curve. – Curve after P2 is moved. 實(shí)現(xiàn)交互控制，生成曲線 : ? 畫控制點(diǎn)； ? 看看曲線的生成結(jié)果； ? 調(diào)整控制點(diǎn)直到最佳 。 易于光滑連接 ? 單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，需要將若干線段連接成為光滑曲線（曲面片連接為組合曲面）。 – C2連續(xù) （ 二階參數(shù)連續(xù) ） ——連接點(diǎn)處 一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 相同 。 x(t)= y(t)= z(t)= t的取值范圍： [0， 1] 三次樣條曲線與調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)） 三次樣條曲線推導(dǎo) ? 簡(jiǎn)化為： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （ 式一） p’(t)= （ 寫出 ） p0= , p1= , p’0= , p’1 = 。(1) 可以看作：是矢量 Pk 、 Pk+1 、 Rk 、 Rk +1 的加權(quán)和。 ))(()( niiini PPuBnuC)()1(),()0( 101 ??????? nn PPnCPPnC0P 01PP nPnn PP 1?? 3) 端點(diǎn)的曲率 ：在 C(u)兩端點(diǎn)的曲率分別為： ? 這是因?yàn)? ? 311123102110||||1)1(||||1)0(nnnnnnPPPPPPnnKPPPPPPnnK???? ???????????? ????202,12 )()2()1()(niniiii uBPPPnnuC)2)(1()1()2)(1()0(21012?? ????????nnn PPPnnCPPPnnC? 4）對(duì)稱性 ? 若保持原全部頂點(diǎn)的位置不變 ， 只是把次序顛倒過來 ， 則新的 Bezier曲線形狀不變 ， 但方向相反 。i=n。 } ? Bezier 曲線的 De Casteljau算法 ? ? 5． Bezier曲線的幾何作圖法 ? 利用 De Casteljau算法可以以幾何方式計(jì)算參數(shù)值 處的曲線點(diǎn)： ? 1） 根據(jù)給定的參數(shù)值 ， 在控制多邊形的每條邊上確定某一分割點(diǎn) ， 使分割后的線段之比為 ；由此得分割點(diǎn)為 ： 由此組成一個(gè)邊數(shù)為（ n1） 的新的多邊形； u)1(: uu ?1, . . . ,2,1,0)1( 11 ????? ? niPuPuP iiiu? 2） 用相同的方法對(duì)該多邊形再次分割 ， 得到分割點(diǎn) 形成另一個(gè)新的多邊形 ； ? 3） 按相同的過程分割 n1次后 ， 得到兩個(gè)頂點(diǎn) ， 再分割得到所求的點(diǎn) 即為所求的 處的曲線點(diǎn)； )2,. ..1,0(2 ?? niP iPP nn 1110 , ??Pn0 u ? Bezier 曲線的幾何作圖法 ? 6． Bezier曲線的分割 ? 幾何作圖法中計(jì)算得到 的同時(shí)也將原 Bezier曲線分為兩個(gè)子曲線段： 就是定義在 上的子曲線段 ， 而 是定義在 上的子曲線段 。 3)端點(diǎn)的切平面 三角形 所在的平面分別在點(diǎn) 與曲面 相切 4)端點(diǎn)法線方向 由端點(diǎn)的切平面知 是 在點(diǎn) 的法線方向；其余各端點(diǎn) nmnnn PPPP ...210 nmmmm PPPP ...210011000 PPP 1,010 ?mmm PPP1,1 ?? mnmnnm PPP10,10 nnn PPP ?0000 , nnmm PPPP),( vuS),( vuS00 , nnmm PPP10000100 PPPP ? 00P的法向情況也類似 5)凸包性 曲面 位于其控制頂點(diǎn) 的凸包性 。 } else { for(i=0。 1 B樣條基函數(shù) 給定參數(shù)軸上的一個(gè)分割，由下列遞推關(guān)系定義的稱為 U的次（階） B樣條基函數(shù) 000),()()(01)(1,11111,10,?????????? ?????????????規(guī)定其它uNuuuuuNuuuuuNuuuuNpiipipipiipiipiiii其中表示 B樣條的次數(shù) (即為階 )， 為節(jié)點(diǎn)，為節(jié)點(diǎn)矢量； 該表達(dá)式意味著： 是一階躍函數(shù)，在區(qū)間 外均為零； 對(duì)于 p0， 是兩個(gè) ( )次基函數(shù)的線性組合； 計(jì)算一系列的基函數(shù)，需要指定節(jié)點(diǎn)矢量 和次數(shù) 。 因?yàn)? 使得 個(gè)頂點(diǎn)控制， 時(shí)，只影響到 ： 控制多邊形是 B樣條曲線的線性近似，若進(jìn)行節(jié)點(diǎn)插入或升階 會(huì)更加近似；次數(shù)越低， B樣條曲線越逼近控制頂點(diǎn)； ： 設(shè) nPPP ,..., 10 n為 B樣條曲線的控制多邊形，某平面與 B 樣條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該平面與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 圖 B樣條曲線的變差縮減性 例子： 給定控制頂點(diǎn) )8,...,0( ?iPi，定義一條三次 B樣條曲線。 /*