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數(shù)字信號處理(程佩青第三版課件)第二章z變換與離散時(shí)間傅里葉變換dtft(存儲版)

2025-02-19 06:26上一頁面

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【正文】 , , , 2 , 2 , j j j je e e e? ? ? ???例:一LSI 系統(tǒng)的極點(diǎn)有: 問什么情況下,系統(tǒng)為因果系統(tǒng), 什么情況下,系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)Re[ ]zIm[ ]jz0 1 je ? je ?? 62 je?62 je ?? 2z ?解:因果系統(tǒng): 0 . 4 1 . 5z??穩(wěn)定系統(tǒng):系統(tǒng)函數(shù)與差分方程 常系數(shù)線性差分方程: 00( ) ( )NMkmkma y n k b x n m??? ? ???00( ) ( )NMkmkmkma z Y z b z X z???????101101( 1 )( ) ( ) / ( )( 1 )MMmmmmmNNkkkkkb z c zH z Y z X z Ka z d z?????????? ? ??????取 z變換 則系統(tǒng)函數(shù) L S I3 1 1( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( 1 )4 8 3( ) ( )123y n y n y n x n x nx n y n? ? ? ? ? ? ?例:已知離散 系統(tǒng)的差分方程:(設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零)其中: 為輸入, 為輸出。 DTFT的一些性質(zhì) )()()()( 22112211 ?? jj eFaeFanfanfa ???)()(* ?? jj eXeX ??線性性: ? ?)(Re2 )()()( ?je eXnxnxnx ????? ?)(Im2 )()()( ?jo eXjnxnxnx ?????? 0)()(0jnj eeXnnx ???實(shí)序列: 實(shí)偶性: 實(shí)奇性: 時(shí)移特性: )()( )( 00 ??? ?? jnj eXnxe)()( ??jeXddjnnx ??乘以指數(shù)序列 (調(diào)制性) 序列線性加權(quán) )()( ?jeXnx ???序列翻褶 )()( ?jeXnx ??? ?序列共軛 卷積定理: (時(shí)域 ) (頻域 ) )()()()( ?? jj eYeXnynx ?????????????????deYeXeYeXnynxjjjj)()(21)()()()()(?? ?????? ππj ωnd ω)X ( eπ( n )x 2221?? ?????? ???? ?? deYeXnynxjjn)()(2 1)()( **DTFT的主要性質(zhì)參見書 23 帕色伐爾定理: (Parseval Theory) 頻域卷積在一周期內(nèi)積分 ,稱 周期卷積 。 離散信號的付氏變換 DTFT 一、 DTFT的定義 變換對: )()( j ωD T F T eXnx ?? ?????????njn ωj ω enxeX )()(d ωeeXπnx jn ωππj ω??? )(21)(稱為 離散時(shí)間傅里葉變換( DTFT)。 , 0 ,x x x xR z R R R? ? ? ?? ? ? ? ? ()() nn xxnX z C z R z R????? ??? ? ??11 ()2nn cC X z z dzj??? ?Re[ ]zIm[ ]jz0xR? xR?C0 , 1 , 2 ,n ? ? ?? 若 F(z)在 c外 M個(gè)極點(diǎn) zm,且分母多項(xiàng)式 z的階次比分子多項(xiàng)式高二階或二階以上,則: 11( ) ( ) ( , )2nxxcx n X z z dz c R Rj? ??????1( ) ( ) nF z X z z ??( ) R e [ ( ) ] kzzkx n s F z ?? ?( ) R e [ ( ) ] mzzmx n s F z ??? ?? 利用留數(shù)定理求圍線積分,令 ? 若 F(z)在圍線 c上連續(xù),在 c內(nèi)有 K個(gè)極點(diǎn) zk,則: R e [ ( )] [( ) ( )]rrz z r z zs F z z z F z????單階極點(diǎn)的留數(shù): 2( ) 1/4 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz????例1: , ,求其z反 變換Re[ ]zIm[ ]jz0C41/4211( ) ( , )2 ( 4 ) ( 1 / 4 )nxxczx n z dz c R Rj z z? ????????解:211()( 4 ) ( 1 / 4 ) ( 4 ) ( 1 / 4 )nnzzF z zz z z z????? ? ? ?其中: 11()4nF z c z???當(dāng)時(shí)在圍線 內(nèi)只有一階極點(diǎn)14( ) R e [ ( ) ]zx n s F z??1141()4 ( 4 ) ( 1 / 4 )nzzzzz????????????415n??11( ) ( 1 ) 04nF z c z n z??? ? ?當(dāng)時(shí)在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn) 和 階極點(diǎn)4( ) R e [ ( )] zx n s F z ???? ? ? ? ? ?1444 1 / 4nzzzzz????? ? ???????2415n??c z =4 F ( z )而圍線 外只有一階極點(diǎn) ,且 的分母多項(xiàng)式階次高于分子多項(xiàng)式階次兩次以上244( ) ( 1 ) ( 2 )15 15nnx n u n u n??? ? ? ? ? ?Re[ ]zIm[ ]jz0C41/42( ) 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz????例2: , ,求其z反 變換Re[ ]zIm[ ]jz0C41/4解: 收斂域是圓的外部 li m ( ) 1X( z ) z =zXz?????又,即 在 處收斂( ) ( ) 0 0x n x n n? ? ?是一個(gè)因果序列,即 ,()xn? 是右邊序列10 ( ) c( 4 ) ( 1 / 4 )0 ( ) 0nzn F zzzxn??????同樣當(dāng) 時(shí),由 在 外無極點(diǎn),且分母階次比分子階次高兩階以上,由圍線外極點(diǎn)留數(shù)為 可得0n ?當(dāng)時(shí)1() ( 4 ) ( 1 / 4 )nzFz zz?? ??144cz ?在圍線 內(nèi)有一階極點(diǎn) , Re[ ]zIm[ ]jz0C41/44 1 / 4( ) R e [ ( )] R e [ ( )]zzx n s F z s F z????111441( 4 ) ( )11 4( 4 ) ( ) ( 4 ) ( )44nnzzzzzzz z z z????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?21 ( 4 4 )15nn????21( ) ( 4 4 ) ( )15nnx n u n??? ? ?思考: n=0,1時(shí), F(z)在圍線 c外也無極點(diǎn),為何 ( ) 0xn ?部分分式展開法求解 IZT : ? ? ????? ??????????NMnrNkrkkikkknn zzCzzAzBzAzBzX0 1 111 )1(1)()()(? 常見序列的 ZT參見書 21 若函數(shù) X(z) 是 z的有理分式,可表示為: ? 利用部分分式的 z反變換和可以得到函數(shù)X(z) 的 z反變換。 z變換的定義及收斂域 信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種: ——時(shí)域分析方法 ——變換域分析方法 連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng) —— LT FT 離散時(shí)間信號與系統(tǒng) —— ZT FT 一、 ZT的定義 ),(:),()( 21 ??zzXnx ????????nnznxzX )()( z 是復(fù)變量,所在的復(fù)平面稱為 z平面 二、 ZT的收斂域 ? 對于任意給定序列 x(n),使其 z變換 X(z)收斂的所有 z值的集合稱為 X(z)的收斂域。 ??????? ???????nn zxxzxznxzX ?? 1)1()0()1()()(? 根據(jù)收斂域判斷 x(n)的性質(zhì),在展開成相應(yīng)的 z的冪級數(shù) 將 X(z) X(z)的 x(n) 展成 z的 分子分母 按 z的 因果序列 負(fù)冪級數(shù) 降冪排列 左邊序列 正冪級數(shù) 升冪排列 xzR ??xzR ??例 1 111??? azzX )(az ?ROC1: ) 11 ?? az 1 11 ?? az1?az221 ?? ? zaaz22 ?za.. .??? ?? 2211 zaaz111?? az...???? ?? 2211 zaaz,..
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