[工學(xué)]傅里葉變換詳解(存儲版)
【正文】 ）稱為周期函數(shù) 的 傅里葉級數(shù)展開式 （簡稱傅氏級數(shù)展開），其中的展開系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)（簡 稱傅氏系數(shù)）． 函數(shù)族 ()是正交的．即為： 其中任意兩個函數(shù)的乘積在一個周期上的積分等于零 ，即 利用三角函數(shù)族的正交性，可以求得 ()的展開系數(shù)為 （ ） 其中 關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題，有如下定理： 狄利克雷（ Dirichlet）定理 若函數(shù) 滿足條件： (1)處處連續(xù)，或在每個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點； （ 2）在每個周期內(nèi)只有有限個極值點，則級數(shù)（ ）收斂， 且 在 收斂點 有： 在 間斷點 有： 奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開 定義 傅里葉正弦級數(shù) 傅里葉余弦級數(shù) 若周期函數(shù) 是 奇函數(shù) ，則由傅里葉系數(shù)的計算公式 ()可見，所有 均等于零，展開式 ()成為 () 這叫作 傅里葉正弦級數(shù) ．容易檢驗（ ）中的正弦級數(shù)在 處為零． 由于對稱性，其展開系數(shù)為 若周期函數(shù) 是偶函數(shù) ，則由傅里葉系數(shù)計算公 式可見，所有 均等于零，展開式 ()成為 () 這叫作 傅里葉余弦級數(shù) ． 同樣由于 對稱性 ，其 展開系數(shù) 為 () 由于余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級數(shù)，所以余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)在 處為零． 而對于定義在有限區(qū)間上的非周期函數(shù) 的傅里葉級 數(shù)展開，需要采用類似于高等數(shù)學(xué)中的延拓法，使其延拓為周 期函數(shù)． 定義 復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 取一系列復(fù)指數(shù)函數(shù) () 作為 基本函數(shù)族 ，可以將周期函數(shù) 展開為復(fù)數(shù)形式的 傅里葉級數(shù) () 利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的 正交性 ，可以求出復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù) () 式中“ *”代表復(fù)數(shù)的共軛 上式 ()的 物理意義 為一個周期為 2l 的函數(shù) 可以分解 為頻率為 ，復(fù)振幅為 的復(fù)簡諧波的疊加． 稱為譜點， 所有譜點的集合稱為譜．對于周期函數(shù) 而言，譜是離散的． 盡管 是實函數(shù)，但其傅里葉系數(shù)卻可能是復(fù)數(shù)， 且滿足： 或 () 實數(shù)與復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分 上一節(jié)我們討論了周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，下面討論非 周期函數(shù)的級數(shù)展開． 實數(shù)形式的傅里葉積分 定義 實數(shù)形式的傅里葉變換式
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