數(shù)學(xué)物理方法第一章(存儲(chǔ)版)
【正文】 冪函數(shù) ?? isss ez ?(三 ) 復(fù)變函數(shù)例 實(shí)周期 2? 純虛數(shù)周期 2?i 純虛數(shù)周期 2?i 33 復(fù)變函數(shù) w=u+iv是兩個(gè)函數(shù)的組合，實(shí)部 u 和虛部 v 。如果任給實(shí)數(shù) ? 0，若存在實(shí)數(shù) ? 0，當(dāng) D 內(nèi)的 z 滿(mǎn)足 0 ?zz0 ? ? 時(shí)，有 ?f (z) w0 ??，則稱(chēng) f (z)當(dāng) z 趨于 z0 時(shí)有極限 w0，記作： 幾何意義 當(dāng) z 在 Z 平面進(jìn)入以 z0為圓心， ? 為半徑的圓 C?時(shí) ,相應(yīng)的 w = f (z)就在 W平面進(jìn)入以 w0為圓心， ?為半徑的圓 C?內(nèi)。 0 xx ??實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù) 因此，復(fù)函數(shù)的可導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)性條件強(qiáng)得多。充分條件是函數(shù)的實(shí)部與虛部的導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)并滿(mǎn)足柯西－黎曼方程。 za r g20ziw z e?a r g 221ziw z e???設(shè)想兩個(gè) z平面相重迭 ,在 割破處交叉 粘合：黎曼面 60 其它多值函數(shù) l n l n | | a r gz z i z??對(duì)數(shù)函數(shù)： 反三角函數(shù)： 221a r c si n l n( 1 )1a r c c os l n( 1)z i z ziz z zi? ? ?? ? ?a rc s inwz? 2 2 1 0i w iwe iz e? ? ?221[ 2 ( 2 ) 4 ]2 1iwe iz iziz z? ? ? ?? ? ?s in2iw iweezwi????21 l n ( 1 )w iz zi? ? ?問(wèn)：反函數(shù)中的根式前取“ ”號(hào)行不行？ 。 ?? ?????????? Cx dyy dxdyxudxyuyxv 22),((1) 全微分的積分與路徑無(wú)關(guān) ( 0 , ) ( , )( 0 , 0 ) ( 0 , )( , )( 0 , )( , ) 2 2 2 2 2 2y x yyxyyv x y y dx x dy y dx x dy Cy dx C x y C? ? ? ? ?? ? ? ????共軛調(diào)和函數(shù) 50 (2) )2(22),( xydx d yy d xyxdv ??? Cxyv ?? 2(3) )(2)(2),( xxyxx dyyxv ?? ???? ?視 x 為參量，對(duì) y 積分 yyuxyxv 2)(39。()()ddddz dz dzddddz dz dzddzd dF dFdz d dz??????? ? ? ?? ? ? ? ??????? ? ?? ? ? ? ?????si n c osc os si n1lnzzdeedzdzzdzdzzdzdzdz z?????43 x y z zz ??39。定義表示，當(dāng) nN 時(shí)，所有的 zn都進(jìn)入圓 C?內(nèi)， ?取值足夠小，對(duì)于 nN的 n，非常接近于 z0，這就是序列{zn}以 z0為極限的幾何意義。 內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn) 開(kāi)集 注意 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線(xiàn)和一些孤立的點(diǎn)所組成的 定義 若點(diǎn)集 G的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng) G為 開(kāi)集 30 定義 點(diǎn)集 G稱(chēng)為一個(gè)區(qū)域，如果它滿(mǎn)足： (1)G是一個(gè)開(kāi)集； (2)G是連通的，就是說(shuō) G中任何兩點(diǎn) z1和 z2都可以用完全屬于 G的一條折線(xiàn)連接起來(lái)。 實(shí)函數(shù)定義 : 對(duì)于實(shí)數(shù)域中一區(qū)域 B 中的每一實(shí)數(shù) x 都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)。故我們?yōu)榉奖?，將無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作一個(gè)點(diǎn)。 18 （二）無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn) 復(fù)平面上有些個(gè)點(diǎn)比較特殊，比如：零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 1?2 Bernoulli和 Leibniz的爭(zhēng)論 1712~1713 Bernoulli：負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)是實(shí)數(shù) d ( ) d l n ( ) l nxx xxxx? ? ? ? ??Leibniz ：不可能有負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù) d d lnx xx ?只對(duì)正數(shù)成立 3 Euler 在 1747年對(duì)這場(chǎng)爭(zhēng)論作了中肯的分析 ln( ), lnxx? 差一常數(shù) 8 1740年， Euler 給 Bernoulli的信中說(shuō)： 2 cosyx?11xxy e e? ? ???和 是同一個(gè)微分方程的解，因此應(yīng)該相等 1743年，發(fā)表了 Euler公式 ? ?? ?11111c o s21sin21xxxxx e ex e e? ? ?? ? ??????歐拉 (L. Euler, 17071783)先確立了負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù) l n( ) l n 1xx ?? ? ? ?又給出了復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)的適當(dāng)定義 22l n ( ) l n ( 2 )a b i a b i k??? ? ? ? ?22sin /b a b? ??歐拉像使用實(shí)數(shù)一樣有效地使用復(fù)數(shù) ,數(shù)學(xué)家們也因此對(duì)復(fù)數(shù)產(chǎn)生了一些信心。1 數(shù)學(xué)物理方法 特色：在于數(shù)學(xué)與物理的緊密結(jié)合。 如對(duì)于 3 15 4xx?? 邦貝利發(fā)現(xiàn)有一個(gè)根 4x?332 1 1 1 2 1 1 1x ? ? ? ? ? ?他證明了 3 2 1 1 1 2 1? ? ? ? ?7 法國(guó)的笛卡爾（ ,15961690）稱(chēng)其為虛數(shù) (“虛幻數(shù)” imaginary number) 由于 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，直到 19世紀(jì)中葉，這類(lèi)數(shù)仍然是不合法的。 定理： 1,ie ??? ,e?是超越實(shí)數(shù)， , , ,1ei? 四個(gè)似乎毫無(wú)關(guān)系的 數(shù)，極其美妙地結(jié)合在一起，這反應(yīng)了歐拉公式的深刻內(nèi)涵意義。 所有的無(wú)窮大復(fù)數(shù)（平面上 無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn) ）投影到唯一的北極 N。 （ 即 圖中淡灰色 ） － 1 － i x y 25 【 解法 2 】 根據(jù)輻角定義得出，由iz x y?? 222 2 2 222i i i 1 2ii i i ( 1 ) ( 1 )i2a r g ( ) a r c t a ni1z x y x y xz x y x y x yzxz x y? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? 由題意得到 222 π0 a r c ta n ( )14xxy????? 注意到，在( 0 , π / 4 )的角度區(qū)域，正切函數(shù)是單增的，對(duì)上 述 不等式 兩邊 均取正切 得到 222011xxy????? 由此 得到 220( 1 ) 2xxy???? ? ?? 或 220( 1 ) 2xxy???? ? ?? 注意到 22( 1 ) 2xy? ? ?是以（－ 1 ， 0 ）為圓心，以 2 為半徑的圓周，所以滿(mǎn)足題給條件的是圖 1. 10 中灰色的部分 . 根據(jù)題給輻角不等式，對(duì)于 0x ? ，其輻角不滿(mǎn)足要求 . 26 例： 11( + )22/ 2 / 2 / 2=1( 1 ) ( 1 )= = =1 ( ) 2 sin2i n ii in i inniki i i ike e e e e eee e e e i??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ????1 1 1 1c o s [ ( + ) ] c o s ( ) sin [ ( + ) ] sin ( )2 2 2 2=+2 sin 2 sin
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