【正文】 ）作 OF 平分∠AOC，交⊙O 于 F，連接 AF、CF、DF，如圖 3，易證四邊形 AOCF 是 菱形，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得 DF=DO．過(guò)點(diǎn) D 作 DH⊥OC 于 H，易得 DH=DC，從而有CD+OD=DH+FD．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng) F、D、H 三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在 Rt△OHF 中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問(wèn)題． 解答： 解：（1）連接 OC，如圖 1，∵CA=CE，∠CAE=30176。．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF 是等邊三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四邊形 AOCF 是菱形，∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得 DF=DO． 過(guò)點(diǎn) D 作 DH⊥OC 于 H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30176。這兩步在證相切時(shí)經(jīng)常用到， 因?yàn)榍罢咝枰粋€(gè)包括兩個(gè)銳角的直角，而后者能提供兩個(gè)互余關(guān)系的銳角。BCM 為 ⌒ 的中點(diǎn)，什么意思？垂徑定理，還是等弧對(duì)著的圓周角相等？不知道，的做法是兩 個(gè)結(jié)論都標(biāo)到圖上，然后裝在心里，呵呵，不是埋在心底，那太深了，一會(huì)提不出來(lái)。不管他是∠1 和∠3 的內(nèi)錯(cuò)，還是∠PAC 和∠BCA 的內(nèi)錯(cuò)，足以使△BDC 和△PDA 相似, 有1相似的目的只有一個(gè)，就是對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度比例相同，則 BDPD= CD AD?！逜M 為⊙O 直徑∴∠ACM=90176。得到 AB=AC=r，推出△ADC 是等腰直角三角形，在 Rt△ODC 中，求得DC==r，于是問(wèn)題可得． 解答： （1）如圖所示；（2）如圖 2，連接 OD，設(shè)⊙O 的半徑為 r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，在 Rt△ACB 中，∠ABC=90176。再解方程即可． 解答： 解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90176。.(1)判斷△ABC 的形狀： ；(2)試探究線段 PA，PB，PC 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)當(dāng)點(diǎn) P 位于的什么位置時(shí)，四邊形 APBC 的面積最大？求出最大面積.【答案】（1）等邊三角形；（2）（2）PA+PB=PC.（3）理由如下：如圖 2，過(guò)點(diǎn) P 作 PE⊥AB，垂足為 E，考點(diǎn)：圓周角定理；圓的有關(guān)性質(zhì)；全等三角形的判定……依次順延13（2015 威海,第 22 題 9 分）如圖，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 為直徑的⊙O 交 AB 于點(diǎn) D，交 BC 于點(diǎn) E．（1）求證：BE=CE；（2）若 BD=2，BE=3，求 AC 的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．.專(zhuān)題：證明題．分析：（1）連結(jié) AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由 AC 為⊙O 的直徑得到∠AEC=90176?！唷螦=90176。時(shí)，求∠A 的度數(shù)；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請(qǐng)你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A 的大?。键c(diǎn)： 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理． 分析： （1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；（3）連結(jié) EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180176。（1）利用尺規(guī)作∠ABC 的平分線 BD，交 AC 于點(diǎn) E，交⊙O 于點(diǎn) D，連接 CD（保留作圖 痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）所作的圖形中，求△ABE 與△CDE 的面積之比．考點(diǎn)： 作圖—復(fù)雜作圖；圓周角定理．分析： （1）①以點(diǎn) B 為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交角 ABC 兩邊于點(diǎn) M，N；② 分別以點(diǎn) M，N 為圓心，以大于 MN 的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)；③作射線 BE 交AC 與 E，交⊙O 于點(diǎn) D，則線段 BD 為△ABC 的角平分線；（2）連接 OD，設(shè)⊙O 的半徑為 r，證得△ABE∽△DCE，在 Rt△ACB 中，∠ABC=90176。已經(jīng)有對(duì)頂角了，再找一對(duì)角，我們先看下∠AED 和∠CFD，∠CFD 不再圓AD周上，不好倒騰，先棄之！再看∠4 和∠2，離得比較遠(yuǎn)，好在兩個(gè)角都在圓周上，能倒騰！∠2=∠1，那么∠1 等于什么？平行出內(nèi)錯(cuò)呀，你找不到∠1 的同位角和同旁?xún)?nèi)角，所以∠1=∠3，那么再看∠3 是否能與∠4 相等，一看，這個(gè)兩個(gè)圓周角共弦，但圖上沒(méi)有連接EC，那我們是否需要把 EC 連接上呢？不用，這個(gè)兩個(gè)圓周角共。你先前已經(jīng)證得 AM⊥AP， 根據(jù)垂徑定理的推論，唾手可得 AM⊥BC，則兩條直線同時(shí)垂直一條直線，則兩條直線是平 行，常說(shuō)有平行出內(nèi)錯(cuò)。如果出現(xiàn)的是乘積形式，就寫(xiě)比值形式，看他 們處于那兩個(gè)三角形中，這個(gè)就是解題思路，一般而言，呼市 相似題目還沒(méi)有出到需要倒騰線段或進(jìn)行線段加減后才能參與相似線段比的運(yùn)算。先看第一問(wèn)，首先你要在草稿紙上精確地把圖畫(huà)一遍，否則卷面的圖一會(huì)就被你的嘗試標(biāo)花 了。﹣60176?！逴H⊥AB，∴BH=AH=AB=1， OH=BH= ， OB=2OH= ，∴S 陰影部分=S 扇形 AOB﹣S△AOB= ﹣2= ．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓， 三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心 就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積的計(jì) 算．7. （2015?四川省內(nèi)江市，第 27 題，12 分）如圖，在△ACE 中，CA=CE，∠CAE=30176。 ， BC=AC ， 再 根 據(jù) 平 行 四 邊 形 的 性 質(zhì) 得∠ADC=∠AOC=120176。.OB 2∵AB 為⊙O 直徑，∴∠ACB=90176。2 OA2 =42 22 = 2 3 .【考點(diǎn)】新定義；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理.【分析】先根據(jù)定義求出 OA162。 = 2,OB162?！郉E 是⊙O 的切線；（2）作 EF⊥CD 于 F，設(shè) EF=x∵∠C=45176。求 sin∠CAE 的值. 考點(diǎn)： 切線的判定；勾股定理；解直角三角形．.分析：（1）連接 DO，DB，由圓周角定理就可以得出∠ADB=90176。． 故答案為：35．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了圓周角定理．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題的關(guān) 鍵是：熟記在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的 一半．12．（2015?甘肅蘭州,第 20 題，4 分）已知△ABC 的邊 BC=4cm，⊙O 是其外接圓，且半徑 也為 4cm，則∠A 的度數(shù)是 【 答 案 】30176?！唷螦BC=30176。 1 = 2p . 故應(yīng)填 2p180o180o 3 3 CF7. （2015?四川省宜賓市，第 14 題，3 分）如圖，AB 為⊙O 的直徑，延長(zhǎng) AB 至點(diǎn) D，使 BD=OB，DC 切⊙O 于點(diǎn) C，點(diǎn) B 是 ⌒ 的中點(diǎn)，弦 CF 交 AB 于點(diǎn) F 若⊙O 的半徑為 2，則 CF= .8.（2015?江蘇泰州,第 12 題 3 分）如圖，⊙O 的內(nèi)接四邊形 ABCD 中，∠A=115176。ODC = 90o ,圓的半徑和圓心角的度數(shù)可以通過(guò) Rt△OPC 獲得解決.略解：連接半徑 ∵ CD 與⊙O 相切于 D 點(diǎn) ∴ OD ^ CD∴ 208。, ∴∠BOC=100176。=100176。或 100176。﹣45176。 C．40176。 則∠P=360176。 D．130176。,N 是弧 MB 的中點(diǎn),P 是直徑 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，若 MN=1，則△PMN 周長(zhǎng)的最小值為（ ）.（A）4 （B）5 （C）6 （D）7圖 6考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)－最短路線問(wèn)題；圓周角定理．.分析：作 N 關(guān)于 AB 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) N′，連接 MN′，NN′，ON′，ON，由兩點(diǎn)之間線段最短可知 MN′ 與 AB 的 交 點(diǎn) P′ 即 為 △PMN 周 長(zhǎng) 的 最 小 時(shí) 的 點(diǎn) ， 根 據(jù) N 是 弧 MB 的 中 點(diǎn) 可 知∠A=∠NOB=∠MON=20176。.【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)圓周的度數(shù)為 360176。 B. 90176。 .2故選 B.12 . （2015?山東威海，第 9 題 3 分）如圖，已知 AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44176。A .∵∠A=72176。. 故選 D．10. （2015?浙江湖州，第 8 題 3 分）如圖，以點(diǎn) O 為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦 AB 切小圓于點(diǎn) C，OA 交小圓于點(diǎn) D，若 OD=2， tan∠OAB=，則 AB 的長(zhǎng)是( )A. 4 B. 2 C. 8 D. 4【答案】C.考點(diǎn)：切線的性質(zhì)定理；銳角三角函數(shù)；垂徑定理.11. （2015?浙江寧波，第 8 題 4 分）如圖，⊙O 為△ABC 的外接圓，∠A=72176。）=65176。 C． 65176。∴∠ABC=180176。OEC = 90o5. （2015?浙江濱州,第 11 題 3 分） 若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為 2，則其內(nèi)切圓