【正文】 ……………………2分令，因為，得或， ……………………5分所以的單調增區(qū)間為和； ……………………6分（2）因為對任意且，均有成立，不妨設，根據在上單調遞增，所以有對恒成立，……………………8分所以對，恒成立，即對，恒成立，所以和在都是單調遞增函數(shù)，………………11分當在上恒成立，得在恒成立，得在恒成立，因為在上單調減函數(shù)，所以在上取得最大值，解得． ………………………………13分當在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，因為在上遞減，在上單調遞增，所以在上取得最小值，所以， ……………………………15分所以實數(shù)的取值范圍為． ………………………16分（南通調研一）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點．已知函數(shù)R)．（1）當時，求的極值；（2）若在區(qū)間上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍．（注：e是自然對數(shù)的底數(shù)）（南京鹽城模擬一）已知函數(shù)，.（1）設.①若函數(shù)在處的切線過點，求的值；②當時，若函數(shù)在上沒有零點，求的取值范圍；（2）設函數(shù)，且，求證：當時，.解：（1）由題意，得，所以函數(shù)在處的切線斜率， ……………2分又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點代入，得. ……………4分（2）方法一：當時，可得，因為，所以，①當時，函數(shù)在上單調遞增，而，所以只需，解得，從而. ……………6分②當時，由，解得，當時，單調遞減；當時，單調遞增.所以函數(shù)在上有最小值為，令，解得，所以．綜上所述，． ……………10分方法二：當時，．①當時，顯然不成立；②當且時，．令，則．當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增．又，由題意知．（3）由題意，．而等價于，令， ……………12分則，且，令，則，因，所以， ……………14分所以導數(shù)在上單調遞增，于是，從而函數(shù)在上單調遞增，即． ……………16分（鹽城期中）已知函數(shù)，.（1）若曲線與直線相切，求實數(shù)的值；（2）記，求在上的最大值；（3）當時，試比較與的大小.解：（1）設曲線與相切于點，由，知，解得， ……………2分又可求得點為，所以代入，得. ……………4分（2）因為，所以.①當，即時，此時在上單調遞增，所以； ……………6分②當即時，當時，單調遞減，當時，單調遞增，.(i)當，即時，；(ii) 當，即時，； ……………8分③當，即時，此時在上單調遞減，所以.綜上，當時，；當時，. ……………10分(3)當時，①當時，顯然；②當時，記函數(shù)， ……………12分則，可知在上單調遞增，又由，知，在上有唯一實根，且，則，即（），當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以， ……………14分結合（）式，知， 所以，則，即，所以.綜上，. ……………16分（說明：若學生找出兩個函數(shù)與圖象的一條分隔線，如，然后去證與，且取等號的條件不一致，同樣給分）（南京鹽城二模）已知函數(shù)f(x)＝1＋lnx－，其中k為常數(shù)．（1）若k＝0，求曲線y＝f(x)在點 (1，f(1))處的切線方程；（2）若k＝5，求證：f(x)有且僅有兩個零點；（3）若k為整數(shù)，且當x＞2時，f(x)＞0恒成立，求k的最大值．（參考數(shù)據ln8＝，ln9＝，ln10＝）解：（1）當k＝0時，f(x)＝1＋lnx．因為f 162。(x)＝，從而當x∈(0，10)，f ′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x∈(10，＋∞)時，f ′(x)＞0，f(x)單調遞增．所以當x＝10時，f(x)有極小值． ……………… 5分因f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1，10)之間有一個零點．因為f(e4)＝4＋－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之間有一個零點．從而f(x)有兩個不同的零點． …………… 8分（3）方法一：由題意知，1+lnx－＞0對x∈(2，＋∞)恒成立，即k＜對x∈(2，＋∞)恒成立．令h(x)＝，則h162。(k)＝＜0，從而g(k) 在(1，＋∞)為減函數(shù)．因為g(4)＝ln8－2＞0，g(5)＝ln10－3＜0 ，所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整數(shù)k＝4．綜合①②，知所求的整數(shù)k的最大值為4． ……… 16分第24課 導數(shù)在實際生活中的應用（蘇北四市期末）如圖，有一個長方形地塊，邊為2，為4．地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線是以直線為對稱軸，以為頂點的拋物線的一部分．現(xiàn)要鋪設一條過邊緣線上一點的直線型隔離帶，分別在邊，上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計）．設點到邊的距離為（單位：），△的面積為（單位：）．(1)求關于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；EF（第18題）PABCD(2)是否存在點，使隔離出的△面積超過3？并說明理由．（1）如圖，以為坐標原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則點坐標為． …………………………………………………………1分設邊緣線所在拋物線的方程為， 把代入，得，解得，所以拋物線的方程為． ………………………………………………………3分因為， ………………………………………………………4分所以過的切線方程為．………………………………………5分令，得；令，得，…………………………………7分所以， ………………………………………………………8分所以，定義域為．………………………………………9分EF（第18題）PO(A)BCDxy（2）， ………………………………………12分由，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，…………………………14分所以在上有最大值．又因為，所以不存在點，使隔離出的△面積超過3．…………………………16分（淮安宿遷摸底） 如圖是一個半圓形湖面景點的平面示意圖．已知為直徑，且km,為圓心，為圓周上靠近 的一點，為圓周上靠近 的一點，且∥．現(xiàn)在準備從經過到建造一條觀光路線，其中到是圓弧，觀光路線總長為.(第17題) （1）求關于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域； （2）求觀光路線總長的最大值. (1)由題意知， …………………………………2分， …………………………………5分因為為圓周上靠近的一點，為圓周上靠近的一點，且，所以所以 ， …………………………………………7分(2)記,則， ………………………………9分令，得， ………………………………………………11分列表x(0，)(，)＋0－f (x)遞增極大值遞減所以函數(shù)在處取得極大值，這個極大值就是最大值，…………13分即， 答：觀光路線總長的最大值為千米． ……………………………14分（鹽城期中）如圖是一塊鍍鋅鐵皮的邊角料，其中都是線段，曲線段是拋物線的一部分，且點是該拋物線的頂點，所在直線是該拋物線的對稱軸. 經測量，2米，米，點到的距離的長均為1米．現(xiàn)要用這塊邊角料裁一個矩形（其中點在曲線段或線段上，點在線段上，點在線段上）. 設的長為米，矩形的面積為平方米.ABCDEFGR第18題H（1）將表示為的函數(shù)；（2）當為多少米時，取得最大值，最大值是多少？解：（1）以點為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系. …………2分ABCDEFGRHxy設曲線段所在拋物線的方程為，將點代入，得，即曲線段的方程為. …………4分又由點得線段的方程為. …………6分而，所以 …………8分（2）①當時，因為，所以，由，得， …………10分當時，所以遞增；當時，所以遞減，所以當時，； …………12分②當時，因為，所以當時，； …………14分綜上，因為，所以當米時，平方米. …………16分（說明：本題也可以按其它方式建系，如以點為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，仿此給分）（南京鹽城二模）右圖為某倉庫一側墻面的示意圖，其下部是一個矩形ABCD，上部是圓弧AB，該圓弧所在圓的圓心為O．為了調節(jié)倉庫內的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開一個矩形的通風窗EFGH(其中E，F(xiàn)在圓弧AB上， G，H在弦AB上)．過O作OP^AB，交AB于M，交EF于N，交圓弧AB于P．已知OP＝10，MP＝（單位：m），記通風窗EFGH的面積為S（單位：m2）． EBGANDMCFOHP(第17題圖)（1）按下列要求建立函數(shù)關系式：(i)設∠POF＝θ (rad)，將S表示成θ的函數(shù)；(ii)設MN＝x (m)，將S表示成x的函數(shù)； （2）試問通風窗的高度MN為多少時，通風窗EFGH的面積S最大？解：（1）由題意知，OF＝OP＝10，MP＝，故OM＝．(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，F(xiàn)G＝ON－OM＝10cosθ－，故S＝EFFG＝20sinθ(10cosθ－)＝10sinθ(20cosθ－7)．即所求函數(shù)關系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜