【正文】 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(165。Z)和(k206。 解 因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處無(wú)定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 又因?yàn)椴淮嬖? 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn). (4), x =1. 解 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類型. 解 . 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)185。1, 177。, +165。 (6)。)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(165。(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在[a, b]上連續(xù), ax1x2 xnb, 則在[x1, xn]上至少有一點(diǎn)x , 使 . 證明 顯然f(x)在[x1, xn]上也連續(xù). 設(shè)M和m分別是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因?yàn)閤i206。, +165。, +165。 (3) f(arctan x)。x163。1, 177。0, 所以f[g(x)]=0。 (5)(a0, b0, c0)。+165。222。 解 . (2), 其中f(0)=0, 且f 162。 (4)。=. 61= 0. 6. (4). (5). (6). (7). 8. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t3(m). 求這物體在t=2秒(s)時(shí)的速度. 解v=(s)162。=2x, 割線斜率為. 令2x=4, 得x=2. 因此拋物線y=x2上點(diǎn)(2, 4)處的切線平行于這條割線. 14. 討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性: (1)y=|sin x|。(0)是否存在？ 解 因?yàn)? f162。(x)=cos x 。=csc2x 。 (7)。=2sec2x+sec xtan x=sec x(2sec x+tan x). (4) y162。=3excos x+3ex(sin x)=3ex(cos xsin x). (7). (8). (9) y162。=2cos x+2x, y162。 (9) y=(arcsin x)2。=sec2(x2)(x2)162。 (7)。 (6)。0, 試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 10. 設(shè)f(x)可導(dǎo), 求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2)。(sin2x)(sin2x)162。 (2) y=sh xech x。 (10) 解 (1) y162。 (5)。 (2) y=e2x1。 (11)。=sin xsin xxcos x=2sin xxcos x . (4) y162。162。(x)=120(x+10)3, f 162。(x2)(x2)162。(x2)+4x2f 162。=C1l2elx+C2l2elx. y162。=ex(sin x+cos x)+ex(cos xsin x)=2excos x . y162。 (4) y=xex . 解 (1) y162。=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x), y162。=C1lelxC2lelx, y162。162。 (2) y=ln[f(x)] . 解 (1)y162。162。=2sec x(sec x)162。=cos xxsin x, y162。 (9) y=(1+x2)arctan x 。=ex(x22x+3)+ex(2x2) =ex(x2+4x5). (2) y162。 (3)。 (8) y=arctan(th x)。(sin2x) f 162。(x2). (2) y162。cos nx+sinnx(sin nx)(nx)162。 (4)。 (5)。=2sin x(sin x)162。 (7) y=tan(x2)。 (2)該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻. 解 (1)v(t)=s162。=2xln x+x2=x(2ln x+1) . (6) y162。=15x22x ln2+3ex. (3) y162。 (5) y=x2ln x 。(0)=1, 從而 f 162。(0)不存在. 17. 已知f(x)=, 求f 162。(0)及f162。=ex, y162。=4x41=4x3 . (2). (3)y162。 (2)。=sin x. 解 . 6. 下列各題中均假定f 162。165。165。 (3)。0, 所以g[g(x)]=0。 cos x163。 ln x163。 (D)f(x)是比x低階的無(wú)窮小. 解 因?yàn)? (令2x1=t, 3x1=u) .所以f(x)與x同階但非等價(jià)無(wú)窮小, 故應(yīng)選B. 3. 設(shè)f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域: (1) f(ex)。, +165。, +165。L|xy|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)f(b)0. 證明: 至少有一點(diǎn)x206。 (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因?yàn)? , , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(165。 (4)。n, , 處是間斷的,且這些點(diǎn)是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn). (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù)。U(x0)時(shí), f(x)185。Z) 是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn). 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的。2, )。 (2) 若a ~b, 則, 從而. 因此b~a 。 (2)(n, m為正整數(shù))。1時(shí), 1x和1x3是同階的無(wú)窮小, 但不是等價(jià)無(wú)窮小. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x174。 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). 3. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。時(shí), 是無(wú)窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題15 1. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . (13)。 解 . (5)。)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x174。e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(165。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.x174。解f(x)174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. x174。0時(shí)x為無(wú)窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義, 填寫(xiě)下表:f(x)174。0時(shí). 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x0|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。), 則對(duì)于e =1, $X0, 當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|163。165。 $X20, 使當(dāng)xX2時(shí), 有|f(x)A|e . 取X=max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x174。時(shí), , 問(wèn)X等于多少, 使當(dāng)|x|X時(shí), |y1|? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。 分析 因?yàn)? |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 所以要使|(5x+2)12|e , 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)0|x2|d時(shí), 有 |(5x+2)12|e , 所以. (3)。a(k 174。165。|una|e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。時(shí), 174。時(shí), 174。180。 當(dāng)時(shí), 無(wú)解. 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閇a, 1a], 當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。x163。(2n+1)p (n=0, 177。 解 由0163。f(x)163。 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為. (5) y=1+ln(x+2)。 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x。(0, l)且x1x2. 因?yàn)閒(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以f(x2)f(x1), f(x2)f(x1), f(x2)f(x1), 這就證明了對(duì)于x1, x2206。). 證明 (1)對(duì)于任意的x1, x2206。0得函數(shù)的定義域D=(165。1得函數(shù)的定義域D=[2, 4]. (8)。0得函數(shù)的定義D=[0, +165。(1, +165。 解 由3x+2179。A. 另一方面, 對(duì)于任意的x206。A。f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)222。Y, 若存在一個(gè)映射g: Y174。f(A)且y206。f(A199。B) y206。f(B). 證明 因?yàn)? y206。Y, A204。 x206。(A199。(5, +165。 高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)課后習(xí)題答案 第一章 習(xí)題11 1. 設(shè)A=(165。, 3)200。BC . 證明 因?yàn)? x206。B219。BC . 3. 設(shè)映射f : X 174。f(A)199。A或x206。f(B). (2)因?yàn)? y206。B) y206。f(B). 4. 設(shè)映射f : X174。x2, 必有f(x1)185。X . 證明: (1)f 1(f(A))201。A. (2)由(1)知f 1(f(A))201。A. 因此f 1(f(A))=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1)。(1, 1)200。 解 由x179。 解 由|x3|163。). (10). 解 由x185。 (2)y=x+ln x, (0, +165。(l, 0)且x1x2, 有x1, x2206。 (6). 解 (1)因?yàn)閒(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)由f(x)=3(x)2(x)3=3x2+x3可見(jiàn)f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (3)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù). (4)因?yàn)閒(x)=(x)(x1)(x+1)=x(x+1)(x1)=f(x), 所以f(x)是奇函數(shù). (5)由f(x)=sin(x)cos(x)+1=sin xcos x+1可見(jiàn)f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (6)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù). 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù), 指出其周期: (1)y=cos(x2)。 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (4) y=2sin3x。 K1163。 解 , , . (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1.