【正文】 參考答案：設(shè)A與B碰撞前A的速度為v0，碰后A與B的速度分別為v1與V1，由動(dòng)量守恒及機(jī)械能守恒定律有 (1) (2)由此解得 (3) (4)為使A能回到坡上，要求v10，這導(dǎo)致k1；為使A從坡上滑下后再能追上B，應(yīng)有，即，這導(dǎo)致，于是，為使第二次碰撞能發(fā)生，要求k 3 (5)對(duì)于第二次碰撞，令v2和V2分別表示碰后A和B的速度，同樣由動(dòng)量守恒及機(jī)械能守恒定律有： 由此解得 (6) (7)若v20，則一定不會(huì)發(fā)生第三次碰撞，若v20，且，則會(huì)發(fā)生第三次碰撞．故為使第三次碰撞不會(huì)發(fā)生，要求A第三次從坡上滑下后速度的大小不大于B速度的大小，即 (8)由(6)、（7）、（8）式得 （9）由 k2－10 k + 5 = 0 可求得 (9)式的解為 (10)(10)與(5)的交集即為所求： (11) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．求得(3)、(4) 式各得3分，求得（5）式得4分，求得（6）、（7）、（8）、（10）和（11）式各得3分．a(chǎn)ObABCDF十三、第22屆預(yù)賽，（30分）如圖所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)剛性輕桿的兩端分別連結(jié)小球和，它們的質(zhì)量分別為ma和 mb. 桿可繞距球?yàn)長(zhǎng)/4處的水平定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．初始時(shí)桿處于豎直位置．小球幾乎接觸桌面．在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細(xì)桿放著一個(gè)質(zhì)量為m的立方體勻質(zhì)物塊，圖中ABCD為過(guò)立方體中心且與細(xì)桿共面的截面．現(xiàn)用一水平恒力F作用于球上，使之繞軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)a轉(zhuǎn)過(guò)a 角時(shí)小球b速度的大?。O(shè)在此過(guò)程中立方體物塊沒(méi)有發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，且小球b與立方體物塊始終接觸沒(méi)有分離．不計(jì)一切摩擦．參考答案：如圖所示，用表示a轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)球速度的大小，表示此時(shí)立方體速度的大小，則有 （1）aFaObABCD由于與正立方體的接觸是光滑的，相互作用力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符號(hào)相反，做功的總和為0．因此在整個(gè)過(guò)程中推力所做的功應(yīng)等于球、和正立方體機(jī)械能的增量．現(xiàn)用表示此時(shí)球速度的大小，因?yàn)?、角速度相同，所以? （2） 根據(jù)功能原理可知 （3）將（1）、（2）式代入可得 解得 （4）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題30分．（1）式7分，（2）式5分，（3）式15分，（4）式3分．。八、第20屆預(yù)賽，(20分)有一個(gè)擺長(zhǎng)為l的擺（擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，擺線的質(zhì)量不計(jì)），在過(guò)懸掛點(diǎn)的豎直線上距懸掛點(diǎn)O的距離為x處（x＜l）的C點(diǎn)有一固定的釘子，如圖所示，當(dāng)擺擺動(dòng)時(shí)，擺線會(huì)受到釘子的阻擋．當(dāng)l一定而x取不同值時(shí)，阻擋后擺球的運(yùn)動(dòng)情況將不同．現(xiàn)將擺拉到位于豎直線的左方（擺球的高度不超過(guò)O點(diǎn)），然后放手，令其自由擺動(dòng)，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰巧能夠擊中釘子，試求x的最小值．參考解答擺線受阻后在一段時(shí)間內(nèi)擺球作圓周運(yùn)動(dòng)，若擺球的質(zhì)量為，則擺球受重力和擺線拉力的作用，設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)任一時(shí)刻的速度為，如圖預(yù)解205所示。這時(shí)A對(duì)B的相對(duì)加速度重新成為，即式。第4秒末B與A的速度取決于在第4秒末B與A經(jīng)歷了多少次碰撞。在第次碰撞完畢的瞬間，A和B的速度分別為和，A以加速度作減速運(yùn)動(dòng)，B以加速度作加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)經(jīng)歷時(shí)間，兩者速度相等，即第二次相對(duì)靜止，則有 解得 （19）在時(shí)間內(nèi)，A與B的左壁的距離變?yōu)?，? 結(jié)合（8）、（9）得 （20）自B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到A與B達(dá)到第二次相對(duì)靜止共經(jīng)歷時(shí)間 6. 討論A與B的左壁的第三次碰撞。設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間，兩者速度相等，第一次達(dá)到相對(duì)靜止，則有 由上式和（9）式解得 （12）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 （13）設(shè)在時(shí)間內(nèi)，A與B的左壁之間的距離增大至，則有 結(jié)合（9）、（12）兩式得 （14）式中 （15）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 由（14）可知，A不會(huì)與B的右壁發(fā)生碰撞。以表示A、B間的滑動(dòng)摩擦力的大小，作用于B的摩擦力向左，作用于A的摩擦力向右，則有 （2） （3）由（1）、（2）、（3）式得 （4） （5）2. 討論B的左壁與A發(fā)生第一次碰撞前的運(yùn)動(dòng)。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。4. 若恰好沒(méi)從木板上掉下來(lái)，即到達(dá)的左端時(shí)的速度變?yōu)榕c相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以表示，由動(dòng)量守恒有 （18）從以初速度在木板的左端開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)與相碰，直到剛沒(méi)從木板的左端掉下來(lái)，這一整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對(duì)的路程為；接著相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也是；與碰后直到剛沒(méi)從木板上掉下來(lái)，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也皆為．整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （19）由（18）、（19）兩式，得 （20）即當(dāng)物塊的初速度時(shí)，剛好不會(huì)從木板上掉下．若，則將從木板上掉下，故從上掉下的條件是 （21）5. 若物塊的初速度滿足條件（21）式，則將從木板上掉下來(lái)，設(shè)剛要從木板上掉下來(lái)時(shí)，、三者的速度分別為、和，則有 （22）這時(shí)（18）式應(yīng)改寫(xiě)為 （23）（19）式應(yīng)改寫(xiě)為 （24）當(dāng)物塊從木板上掉下來(lái)后，若物塊剛好不會(huì)從木板上掉下，即當(dāng)?shù)淖蠖粟s上時(shí)，與的速度相等．設(shè)此速度為，則對(duì)、這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由動(dòng)量守恒定律，有 （25）在此過(guò)程中，對(duì)這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和為，由動(dòng)能定理可得 （26）由（23）、（24）、（25）、（26）式可得 （27）即當(dāng)時(shí)，物塊剛好不能從木板上掉下。由牛頓第二定律可知，其下落的加速度 （1）用表示所需的時(shí)間，則 （2）由此解得 （3）2．木棍下端開(kāi)始進(jìn)入下面液體后，用表示木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，這時(shí)木棍所受重力不變，仍為，但浮力變?yōu)椋?dāng)時(shí)，浮力小于重力；當(dāng)時(shí)，浮力大于重力，可見(jiàn)有一個(gè)合力為零的平衡位置．用表示在此平衡位置時(shí)，木棍在上面液體中的長(zhǎng)度，則此時(shí)有 （4）由此可得