挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸試題因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題(存儲(chǔ)版)
【正文】 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣求A、B兩點(diǎn)間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長(zhǎng)了．水平距離BC的長(zhǎng)就是A、B兩點(diǎn)間的水平距離，等于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相減；豎直距離AC就是A、B兩點(diǎn)間的豎直距離，等于A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減．圖1 例 1 2014年湖南省衡陽(yáng)市中考第28題二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于A(－3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,－3m)（m＞0），頂點(diǎn)為D．（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；（3）如圖2，當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“14衡陽(yáng)28”，拖動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)的正下方時(shí)，△APC的面積最大．拖動(dòng)y軸上表示實(shí)數(shù)m的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，拋物線的形狀會(huì)改變，可以體驗(yàn)到，∠ACD和∠ADC都可以成為直角．思路點(diǎn)撥1．用交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡(jiǎn)便．2．連結(jié)OP，△APC可以割補(bǔ)為：△AOP與△COP的和，再減去△AOC．3．討論△ACD與△OBC相似，先確定△ACD是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在兩種情況．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(－3, 0)、B(1, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝a(x＋3)(x－1)．代入點(diǎn)C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以該二次函數(shù)的解析式為y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如圖3，連結(jié)OP．當(dāng)m＝2時(shí)，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9， S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．圖3
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