【正文】 ?????01 8 01 時，順時針轉過當 ?v 03 6 02 時，順時針轉過當 ?v例 ，判斷使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時 K的取值范圍 ? ?? ?11)( 21 ??? sTsTs KsG222221 11)(????TTKA???? ? ???? 21110 tgtg90 TT ?? ????解：繪制系統(tǒng)的奈氏圖 211TT??2121TTTKT???? 0??????? 0? 1????? ?? ?? ?2212212111)R e ( ??? TTTTK?????? ?? ?? ?221221221111)I m (?????TTTTK?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 。 負穿越： 由下而上穿過該段一次 (相角減少 )，用 表示。這種正負穿越之和即為 G(jω)H(jω) 包圍 (1, j0)的圈數(shù)。 奈氏曲線圖 )1)(1)(1()( 321 ???? sTsTsTKsGb)1()( ?? TsKsGc110NNN ?????? ??2121 0NNN ????? ??(2)開環(huán)傳遞函數(shù)含 ν 個積分環(huán)節(jié) ν型系統(tǒng) 繪制開環(huán)幅相曲線后，應從頻率 0+對應的點開始，逆時針補畫 ν/4個半徑無窮大的圓。 P=1, N= N+N = 01/2， Z=12(1/2)=2 虛線的終端落在負實軸上 該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 P=1, N=N+N=11/2=1/2， Z=P2N=12 1/2=0 ? ? ? ? ? ?? ? 1,13 ???? Kss sKsHsG例 4: 某系統(tǒng) G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有 2個開環(huán)極 點分布在 s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ???()L ?()??dB0 ???0c?I mR e0? ?? ? ????( 1 , j 0 ) 若開環(huán)傳函在 s右半平面的極點數(shù)為 p，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： Bode圖上幅頻特性 L(w)0的 所有 頻段內，當頻率增加時，對數(shù)相頻特性對 1800線的正負穿越次數(shù)差為 p/2 Z=P2N ???()L ?()??dB0 ???0c?例 1：系統(tǒng)開環(huán) Bode圖和開環(huán)正實部極點個數(shù)如下： ? ??A? ?????0 180000P = 0c?c?x?解： P＝ 0，幅頻特性大于 0dB時，相頻特性沒有穿越 1800線， 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Im,10Re 270 000???????????????????????，＝，＝時，有＝當，＝，＝有時，＝當ATA? ?22210011??????? TA閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時 ,系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線經過 (1, j0)點，因此滿足： ? ??????????????????01 0 011Im11 0 0110Re222????TT 10?? 0?? ? TT 1010011Im 22?????? ??? ?110011011100110Re22??????????????????????TTTTTTT0)212 ( 112NPZ ??????P210 513 ReIm0? ??( 1 , 0 j )?? 0??)( ?jG)1)(1()( ??? TsssKsG? ?? ? ? ? ? ?????????? ImRe2923)(23432jjKKjG ????????? ?210Im ＝＝令 ?? ?解 2： k=10時 =2時， K值范圍 ＝ 10時， T值的范圍 ,T值的范圍 若使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????????? ImRe110110)(234232jTTTjTjG ??????????? ? ????? K?解 1： T=2時 ? ?T10Im ＝＝令 ?? ?若使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則 ? ? 9/101Re ????? T?確定閉環(huán)穩(wěn)定條件 )12)(1()( ??? ???? jjjKjG解 3：系統(tǒng)穩(wěn)定時的 K,T范圍 ? ? ? ?? ? ? ? )I m ()R e (11)(234232????????? jTTTjKTKjG ??????????T10)I m ( ＝＝令 ?? ?要求若使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則1)R e ( ???110,10??????KTTTK解得：ReIm0? ??( 1 , 0 j )?? 0??)( ?jG四、伯德圖上的奈氏判據(jù) 極坐標圖 伯德圖 單位圓 0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內區(qū)域 0db線以下區(qū)域 單位圓以外區(qū)域 0db線以上區(qū)域 負實軸 1800線（相頻特性圖） 因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（ 1， j0）點左邊的負實軸，相當于在伯德圖中當 L(ω)0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越 180176。0Im ,0Re 90 0。 所以，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 （ a） P＝ 0 奈氏曲線 0,0,)1)(1()( 2121????? TTsTsT KsG aR eI m00? ?? ??? 1K(b) P=0, Z=P2N=2 閉環(huán)不系統(tǒng)穩(wěn)定。次負穿越 如果 G(jω)H(jω)按逆時針方向繞 (1, j0) 一周，則必正穿越一次。 所謂“穿越”是指 軌跡穿過 段。為了使奈氏路徑不通過原點處的極點，但仍能包圍整個 s 右半平面，現(xiàn)以原點為圓心做半徑為無窮小的右半圓繞過原點處的極點。 ?若閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在 s右半平面上的極點 數(shù)為 Z=N+P,N為奈氏曲線以順時針包圍 (1, j0)點的次數(shù)。 與此相對應，在 F(s)平面上圍線 對原點的包圍就變成在 G(s)H(s)平面上的圍線 對點 (1,j0)的包圍。 S? F? GH?F?GH?F?GH?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?sDsBsCsAsDsBsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1F ( s ) ?????? 由 F(s)的特點可以看出 F(s)取上述特定形式具有兩個優(yōu)點： ? 建立了系統(tǒng)的開環(huán)極點和閉環(huán)極點與 F(s)的零、極點之間 的直接聯(lián)系； ? 建立了閉合曲線 和閉合曲線 之間的轉換關系。這表明，圍線 不包圍原點。 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?n21m21pspspszszszsKsF?????????幅角原理 用 向量 F(s)表示 s平面上的點在 F(s)平面上的映射，有 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?jjn1jiim1isFjpsje x ppsΠzsje x pzsΠKesFsF