廣東省屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：立體幾何(存儲(chǔ)版)
【正文】 0s in | c o s , | 18| | | | 4 5 6ACAC AC? ? ??? ? ? ? ? ?? ?nn n． 故直線 1AC 與平面 CEF 所成角的正弦值為 3018 ． 方法一： （ Ⅰ ）證明： ∵ AE⊥ 平面 ABC， BF? 平面 ABC． ∴ AE⊥ BF， ∵ BF⊥ AC， AE AC A? ， ∴ BF⊥ 平面 AEC， DF? 平面 AEC， ∴ BF⊥ DF， …………………………………………… ..… 2 分 x yzMEFC 1B 1A 1BCA A B C D E F y x z EABCDFG∵ 3 90ABC BAC? ? ? ?，又 44AC CD??， ∴ 30BAC??． 1CD? ． ∴ 1si n 3 0 4 22B C A C? ? ? ?， 又 BF⊥ AC． ∴ 1c o s 6 0 2 12C F B C C D? ? ? ? ?， 又 CD∥ AE， AE⊥ 平面 ABC， ∴ CD⊥ 平面 ABC． 又 AC? 平面 ABC． ∴ CD⊥ AC， ∴ 45DFC??． 又 3AF AC C F AE? ? ? ?， ∴ 45EFA??， ∴ 90EFD??，即 DF⊥ EF． ……………………………..…4 分 又 BF EF F? ， BF、 EF? 平面 BEF． ∴ DF⊥ 平面 BEF， BE? 平面 BEF． ∴ DF⊥ BE； ………………………………………………………6 分 （ Ⅱ ） 如圖，過(guò)點(diǎn) F 作 FG DE? 于點(diǎn) G ，連接 BG ． 由 （ Ⅰ ） 知 BF⊥ 平面 AEC，又 DE? 平面 AEC， (所以 BF DE? ． 又 BF FG F? ， BF 、 FG? 平面 BFG ， 所以 DE? 平面 BFG ．又 BG? 平面 BFG ， ) 所以 BG FG? ． (三垂線定理 ) 故 BGF? 二面角 B DE F??的平面角 ． ………………… 8 分 在 Rt EAF? 中， 2 2 2 23 3 3 2E F E A A F? ? ? ? ?． 在 Rt FCD? 中， 2 2 2 21 1 2F D F C CD? ? ? ? ?． ………… .…… 9 分 在 Rt EFD? 中， 2 2 2 2( 3 2 ) ( 2 ) 2 5E D E F F D? ? ? ? ?． 由 EF FD FG ED? ? ?得 3 2 2 3 5525E F F DFG ED??? ? ?． ……… 10 分 在 Rt BFC? 中， 2 2 2 22 1 3B F B C F C? ? ? ? ?． 在 Rt BFG? 中， 22 9 2 3 0355B G B F F G? ? ? ? ?． …………… 11 分 所以3565c o s42 3 05FGBFGBG? ? ? ?． ∴ 二面角 B DE F??的平面角的余弦值為 46 . …….……… ..………12 分 方法二： 過(guò) F 作 //Fz AE ，由 AE⊥ 平面 ABC 可知 Fz⊥ 平面 ABC， 又 AC 、 BF? 平面 ABC，于是 Fz AC? ， Fz BF? ， 又 BF⊥ AC， ∴ BF、 AC、 Fz 兩兩垂直． 以 F 為原點(diǎn)， FA、 FB、 Fz 依次為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）． …7 分 由 (Ⅰ )可得 3ta n 3 0 3 33B F A F? ? ? ? ?． 于是 (0, 0, 0)F ， (0 , 3 , 0)B ， ( 1, 0,1)D ? ， (3,0,3)E ， ( 1 , 3 , 1 )BD ? ? ? ， ( 3 , 3 , 3 )BE ?? ， A B C D E F y x z ( 0 , 3 , 0 )FB ? ． 由 (Ⅰ )知 FB 是平面 DEF 的一個(gè)法向量． 設(shè) ( , , )n x y z? 是平面 BDE 的一個(gè)法向量，則 ????????????????，033303zyxBEnzyxBDn 取 2z? ，得到 ( 1 , 3 , 2 )n ?? ． ………………………………10 分 ∴ 36c o s4| | | | 2 2 3n F Bn F B n F B?? ? ? ? ?? ?， …………………11 分 又二面角 B DE F??是銳二面角． ∴ 二面角 B DE F??的平面角的余弦值為 46 . …….……………12 分 方法二： (Ⅰ )證明：過(guò) F 作 //Fz AE ，由 AE⊥ 平面 ABC 可知 Fz⊥ 平面 ABC， 又 AC 、 BF? 平面 ABC，于是 Fz AC? ， Fz BF? ， 又 BF⊥ AC， ∴ BF、 AC、 Fz 兩兩垂直． 以 F 為原點(diǎn)， FA、 FB、 Fz 依次為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）． …1 分 ∵ 3 90ABC BAC? ? ? ?， 44AC CD??， 3AE? ， ∴ 1CD? ， 30BAC??． ∴ 1 22BC AC??， 1c o s 6 0 2 12F C B C? ? ? ? ?， 3AF AC FC? ? ?， 22 3B F B C F C? ? ?． ……………………………………………………3 分 于是 (0, 0, 0)F ， (0 , 3 , 0)B ， ( 1, 0,1)D ? ， (3,0,3)E ， ( 1 , 0 , 1)FD ?? ， ( 3 , 3 , 3 )BE ?? ． 故 1 3 0 ( 3 ) 1 3 0F D B E? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 所以 DF⊥ BE……………………..…………………6 分； (Ⅱ )由 (Ⅰ )知 (3 , 0 , 3)FE ? ， ( 1 , 3 , 1 )BD ? ? ? ， ( 3 , 3 , 3 )BE ?? ， ( 0 , 3 , 0 )FB ? ． 于是 0 3 3 0 0 3 0F B F E? ? ? ? ? ? ? ?，所以 FB FE? ，又 FB⊥ AC． 所以 FB 是平面 DEF 的一個(gè)法向量． …………………………………..…8 分 設(shè) ( , , )n x y z? 是平面 BDE 的一個(gè)法向量，則 ????????????????，033303zyxBEnzyxBDn 取 2z? ，得到 ( 1 , 3 , 2 )n ?? ． …………………………………....…10 分 zyxHDC 1B 1A 1CBANMHDC 1B 1A 1CBA ∴ 36c o s4| | | | 2 2 3n F Bn F B n F B?? ? ? ? ?? ?，． 又二面角 B DE F??是銳二面角． ∴ 二面角 B DE F??的平面角的余弦值為 46 . …………………………12 分 【 解析 】 [向量法 ](Ⅰ )連結(jié) 1AC ,因?yàn)?1ACC? 為正三角形 ,H 為棱 1CC 的中點(diǎn) , 所以 1AH CC? ,從而 1AH AA? ,又面 11AACC ? 面 11ABBA , 面 11AACC 面 11ABBA 1AA? ,AH? 面 11AACC , 所以 AH? 面 11ABBA .???????????? 1分 以 A 為原點(diǎn) ,建立空間直角坐標(biāo)系 A xyz? 如圖所示 ,??? 2分 不妨設(shè) 2AB? ,則 1 2AA? , ? ?1 0,2,0A , ? ?1 2,2,0B, 設(shè) ? ?2, ,0Dt,則 ? ?1 2, 2,0AB ?, ? ?1 2 , 2, 0A D t??,??? 3分 因?yàn)?1AD? 平面 1ABH , 1AB? 平面 1ABH ,所以 11AD AB? , 所以 ? ?11 2 2 2 0A B A D t? ? ? ? ?,解得 1t? ,即 ? ?2,1,0D ,所以 D 為 1BB 的中點(diǎn) .??? 5分 (Ⅱ ) ? ?1 0,1, 3C, ? ?1 2 , 1, 0AD ??, ? ?11 0, 1, 3AC ??, 設(shè)平面 11CAD 的法向量為 ? ?,x y z?n ,則 11100ADAC? ????????nn,即 2030xyyz? ????? ? ???,解得 263yxzx? ??? ???, 令 3x? ,得 ? ?3,3 2, 6?n ,????????????? 9分 顯然平面 1AAD 的一個(gè)法向量為 ? ?0, 0, 3AH ? ,???????? 10分 所以 3 2 2 2c o s ,113 3 3AHAH AH?? ?? ? ??nn n, 所以二面角 11C AD A??的余弦值為 2211 .??????? 12 分 [傳統(tǒng)法 ](Ⅰ )設(shè) 2AB a? ,由 1 2A C A A A B?? ,所以 1 2AC AA a??, 因?yàn)?1AD? 平面 1ABH , 1AB? 平面 1ABH ,所以 11AD AB? , 從而 1 1 1 1 90D A B A B A? ? ? ? ?,所以 1 1 1 1A DB AB A??,所以 1 1 11 1 1DB ABB A AA? , 故 1DB a? ,所以 D 為 1BB 的中點(diǎn) .
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