【正文】 E ， 2???CBF （ 1）連結(jié)取 BE，易見(jiàn) BE 通過(guò)點(diǎn) M。 由余弦定理 ， 得 BC2＝ AB2＋ AC2－ 2AB知 ∠ ACB 為銳角，故 cos∠ ACB＝ 2 77 . 故 cos θ＝ cos(∠ ACB＋ 30176。??????（ 9 分） （ 3）棱錐 A— CDEF 的體積： 36431222 ???????? ?? BCSVVV A B FA B FCC E FA 。 sin2?n B E B E P D A B E P D A? ? ?平 面 平 面 （ 2） 設(shè)平面 ABCD的法向量為 1n ，可取 1 (0,0,1)n ? ，設(shè)平面 PBE的法向量為 2n ， 2 220 , ( 2 , 2 , 2 ) , ( 0 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 )0n PB PB PE nn PE? ?? ? ? ? ? ? ????? 126co s , 3nn? ? ?? 所以平面 PBE與平面 ABCD所成的二面角的余弦為 63 . ：（ 1）1 12n na a? ? ?， 21 1 1111 1 112nn n nnaa a aa?? ? ? ? ?? ? ??? 第 21 頁(yè) / 共 26 頁(yè) ∴111 111nnaa? ? ? ??? ∴ 1{}1na?為首次為 2，公差為 1的等差數(shù)列 ∴ 11na?=2+（ n1）（ 1） =（ n+1） ∴ 1n na n? ? (2) 111n nb nn?? ? ? 令3 1 1 1++1 + 2 3 nn n nC B B nn? ? ? ?? ∴1 1 1 1 1 1++2 + 3 3 ( n + 1 ) 。cos23x=41sin3x ∴ f（ x）的極值點(diǎn)為 x=3?k+6?， k∈Z，從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以6?為首項(xiàng)，3?為公差的等差數(shù)列， ∴ an=6?+（ n1）面 BFC⊥面 ABFE，面 ABFE∩面 BEC=BF， AB? 面 ABFE， AB⊥ BF? AB⊥面 BCF， CF? 面 BCF? AB⊥ CF， BQ⊥ CF， AB∩ BQ=B? CF⊥ 面 ABQ， AQ? 面 ABQ? AQ⊥ CF， 故 AQB?為所求二面角的平面角 。＝ 2 800， 所以 BC＝ 20 7. 由正 弦定理 ， 得 sin∠ ACB＝ ABBCcos 120176。 EM=BM， CN=BN? MN∥ CE， CE? 面 CDEF? MN∥面 CDE??????（ 4 分） （ 2）作 BQ⊥ CF 于 Q，連結(jié) AQ。cos23x=21sin23x （ 2） 延長(zhǎng) PE交 DC于點(diǎn) K， 連結(jié) BK，則平面 PBE與平面 ABCD的交線為 BK, PD? 平面 ABCD, ,PD BK?? 又 1/ / , 2E C P D E C P D?易知， E為 P、 G中點(diǎn)， C為 D， K中點(diǎn)，由正方形 ABCD可得BD=BK,且 BD⊥ BK， ,BD PD D BK? ? ?平面 PDB, PB BK??， PBD?? 為所求二面角的平面角， 26c o s 33B D A DPBD PB AD? ? ? ?， 所以平面 PBE與平面 ABCD所成的二面角的余弦為 63 ； 解法 2： （ 1） E 2 0 1B ?＝ （ ， ， ） ,設(shè)平面 PDA的法向量為 n ，可取 (0,1,0)n? ， 0 , , / / 。 sin65?=41,{bn}是以41為首項(xiàng)， 1為公比的等比數(shù)列 .∴ bn=4)1( 1?? n （ n=1， 2，3，?） . 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時(shí)訓(xùn)練（ 5） (1) 解 : ? ? 2 sin c os c os 2f x x x x?? sin 2 cos 2xx?? ?? 2分 222 s in 2 c o s 2xx???????? ?? 3分 2 sin 24x ?????????. ?? 4分 ∴ ??fx的最小正周期為 22? ?? , 最大值為 2 . ?? 6分 (2) 解 :∵ 283f ??????????, ∴ 22 s in 223??????????. ?? 7分 ∴ 1cos2 3?? . ?? 8分 ∵ ? 為銳角，即 0 2???? , ∴ 02????. ∴ 2 22s in 2 1 c o s 2 3??? ? ?. ?? 10 分 ∴ s in 2ta n 2 2 2c o s 2?? ???. ?? 12分 解： (1) 列聯(lián)表補(bǔ)充如下： 3 分 喜愛(ài)打籃球 不喜愛(ài)打籃球 合計(jì) 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計(jì) 30 20 50 （ 2） ∵ 22 5 0 ( 2 0 1 5 1 0 5 ) 8 . 3 3 3 7 . 8 7 93 0 2 0 2 5 2 5K ? ? ? ?? ? ?? ? ?6 分 ∴ 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 的前提下，認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān) .7 分 （ 3）喜愛(ài)打籃球的女生人數(shù) ? 的可能取值為 0,1,2 .9 分 其概率分別為 021 0 1 5225 7( 0 ) 20CCP C? ? ? ?, 111 0 1 5225 1( 1) 2CCP C? ? ? ?, 201 0 1 5225 3( 2 ) 20CCP C? ? ? ? 12 分 故 ? 的分布列為 : 第 8 頁(yè) / 共 26 頁(yè) ? 0 1 2 P 720 12 320 13 分 ? 的期望值為 : 7 1 3 40 1 22 0 2 2 0 5E ? ? ? ? ? ? ? ? 14 分 解：（ Ⅰ ）該幾何體的直觀圖如圖 1 所示，它是有一條 側(cè)棱垂直于底面的四棱錐 . 其中底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 6 的 正方形，高為 CC1=6，故所求體積是 726631 2 ????V 4 分 （ Ⅱ ）依題意，正方體的體積 是原四棱錐體積的 3 倍， 故用 3 個(gè)這樣的四棱錐可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為 6 的正方體， 其拼法如圖 2 所示 . 6 分 證明 :∵面 ABCD、 面 ABB1A 面 AA1D1D 為全等的 正方形，于是 DDAACAA B BCA B C DC VVV 1111111 ??? ?? 故所拼圖形成立 .8分 （Ⅲ）方法一：設(shè) B1E， BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G， 連結(jié) GA，在底面 ABC 內(nèi)作 BH⊥ AG，垂足為 H， 連結(jié) HB1，則 B1H⊥ AG，故∠ B1HB 為平面 AB1E 與 平面 ABC 所成二面角或其補(bǔ)角的平面角 . 10 分 在 Rt△ ABG 中， 180?AG ，則 512180126 ???BH，5182121 ??? BBBHHB， 32c os 11 ??? HBHBHBB，故平面 AB1E 與平面 ABC 所成二面角的余弦值為 32? .14分 方法二：以 C 為原點(diǎn)， CD、 CB、 CC1所在直線分別為 x、 y、 z 軸建立直角坐標(biāo)系（如圖 3），∵正方體棱長(zhǎng)為 6，則E（ 0， 0， 3）， B1（ 0， 6， 6）， A（ 6， 6， 0） . 設(shè)向量 n=（ x， y， z），滿足 n⊥ 1EB ， n⊥ 1AB ， 于是??? ??? ?? 066 036 zx zy，解得????????zyzx21 . 12分 取 z=2，得 n=（ 2， 1， 2） . 又 ?1BB （ 0， 0， 6），321812||||,c os 111 ?????? BBn BBnBBn A B C D C1 圖 1 A B C D D1 A1 B1 C1 圖 2 A B C D D1 A1 B1 C1 E H x y z G 圖 3 第 9 頁(yè) / 共 26 頁(yè) 故平面 AB1E 與平面 ABC 所成二面角的余弦值為 32? . 14 分 解： （ Ⅰ ） nnxfdaxf na 22)1(2)(22l og)( 21 ?????????? nnna axnx 22l o g: ??即 6 分 （ Ⅱ ） 當(dāng) 21?a 時(shí)， nnx ??????? 41 314113141141414121 ????????? ?????????????????????nnnxxx ? 12 分 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時(shí)訓(xùn)練（ 6） 解：（ 1） //ab 24 c o s si n c o s 2 02BBB? ? ? ? 21 c o s4 c o s 2 c o s 1 02 B?? ? ? ? ? 1cos 2B?? 0(0,180 )B?? 60B?? ? ???????? 6 分 （ 2） 83S? 1 sin 8 32 ac B?????????? 7 分 得 4c? ???????? 8 分 2 2 2 2 c osb a c ac B? ? ? 2 2 08 4 2 8 4 c os 120? ? ? ? ????????? 10 分 47b?? ???????? 12 分 解： （ 1） 如圖取 BD 中點(diǎn) M，連接 AM， ME。??????（ 12 分） 解： (Ⅰ )由已知得1 2 31223135P P PPPPP? ? ??????????? 解得 :1P =51 ,2P =52 ,3P =52 . （ Ⅱ ） ? 的可能取值為 0， 100， 200， 300， 400. P(? =0)= 51 ? 51 =251 第 6 頁(yè) / 共 26 頁(yè) P(? =100)= 2? 51 ? 52 =254 P(? =200)= 2? 51 ? 52 +52 ? 52 =258 P(? =300)= 2? 52 ? 52 =258 P(? =400)= 52 ? 52 =254 隨機(jī)變量 ? 的分布列為 ? 0 100 200 300 400 p 251 254 258 258 254 所求的數(shù)學(xué)期望為 E? =0? 251 +100? 254 +200? 258 +300? 258 +400? 254 =240(元 ) 所以隨機(jī)變量 ? 的數(shù)學(xué)期望為 240 元 . （ 1）解 ∵ f（ x） =sin43x) ＝ cos∠ ACBcos 30176。第 1 頁(yè) / 共 26 頁(yè) 2022 屆理科數(shù)學(xué)三 /四 大題限時(shí)訓(xùn)練（ 1） 解： (Ⅰ )交警 小李對(duì)進(jìn) 站休息 的 駕駛?cè)藛T 的省 籍 詢問(wèn)采用的是系統(tǒng)抽樣方法 .（ 3分） (Ⅱ )從圖中可知，被 詢問(wèn)了省 籍 的 駕駛?cè)藛T 廣西 籍 的有： 5 20 25 20 30 10 0? ? ? ? ?人， 四川籍 的有： 1 5 1 0 5 5 5 4 0? ? ? ? ?人，（ 4 分） 設(shè) 四川籍 的 駕駛?cè)藛T 應(yīng)抽取 x 名，依題意得 5100 40x? ，解得 2x? 即 四川籍 的 應(yīng)抽取 2名 . （ 7 分） (Ⅲ ) ? 的所有可能取值為 0， 1， 2； （ 8 分） 2527 10( 0) 21CP C? ? ? ?， 112527 10( 1) 21CCP C? ? ? ?， 2227 1( 2) 21CP C? ? ? ?， （ 10 分） ? 的分布列為 ： ? 0 1 2 P 1021 1021 121