【正文】 ? ? ? ? ? ?， 注意到 1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a???? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 1 1 1n n n na a a a a a a M a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 同理， 21nb M b?? . 記 1 1 1K M a??， 2 2 2K M b??， 則有1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論； (Ⅲ )若數(shù)列 ? ?? ?,nnab都是 B? 數(shù)列，證明：數(shù)列 ? ?nnab 也是 B? 數(shù)列。）的兩個實(shí)根，且 212 2().mmy k xxx k??? 設(shè)點(diǎn) P 的“相關(guān) 弦” AB 的弦長為 l，則 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 1 ) ( )l x x y y k x x? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 2 1 2 1 222222 2 4 22 2 2 2 2 200( 1 ) [ ( ) 4 ] 4 ( 1 ) ( )2()44 ( 1 ) [ ]4( 4 ) ( 4 ) 4 ( 1 ) 1 64 ( 1 ) [ 2 ( 1 ) ] 4 ( 1 ) [ 2 ( 3 ) ] .mmmmmmmm m m m m m mm m m mk x x x x k x x xyxyxyyy x y y y x xx y x x y x? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?0 2my 4xm=4(x0－ 2) =4x0－ 8,于是設(shè) t= 2my ,則 t?(0,4x0－ 8). 記 l2=g(t)=－ [t－ 2(x0－ 3)]2+4(x0－ 1)2. 若 x03,則 2(x0－ 3) ?(0, 4x0－ 8),所以當(dāng) t=2(x0－ 3),即 2my =2(x0－ 3)時(shí) , l 有最大值 2(x0－ 1). 若 2x03,則 2(x0－ 3)? 0,g(t) 在區(qū)間（ 0， 4x0－ 8）上是減函數(shù)，所以 0l216(x0－ 2), l 不存在最大值 . 綜上所述，當(dāng) x03 時(shí)，點(diǎn) P（ x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值為 2（ x0－ 1）；當(dāng) 2 x0? 3 時(shí)，點(diǎn) P（ x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值 . 21.（本小題滿分 13 分） 解 （Ⅰ）函數(shù) f(x)的定義域是 ( 1, )? ?? ， 22222 l n ( 1 ) 2 2 ( 1 ) l n ( 1 ) 2( ) .1 ( 1 ) ( 1 )x x x x x x xfx x xx? ? ? ? ? ?? ? ?? ??′ 設(shè) 2( ) 2( 1 ) l n( 1 ) 2 ,g x x x x x? ? ? ? ?則 ( ) 2 ln (1 ) 2 .g x x? ? ?′ 令 ( ) 2 ln( 1 ) 2 ,h x x x? ? ?則 22( ) 2 .11 xhx xx?? ? ???′ 當(dāng) 10x? ? ? 時(shí)， ( ) 0, ( )h x h x?′ 在（－ 1， 0）上為增函數(shù)， 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， ( ) 0, ( )h x h x?′ 在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 所以 h(x)在 x=0 處取得極大值，而 h(0)=0,所以 ( ) 0( 0)g x x??′ ，函數(shù) g(x)在 ( 1, )? ?? 上為減函數(shù) . 于是當(dāng) 10x? ? ? 時(shí)， ( ) (0) 0,g x g?? 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， ( ) (0) x g?? 所以，當(dāng) 10x? ? ? 時(shí)， ( ) 0, ( )f x f x?′ 在（－ 1， 0）上為增函數(shù) . 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， ( ) 0, ( )f x f x?′ 在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－ 1， 0），單調(diào)遞減區(qū) 間為 (0, )?? . （Ⅱ）不等式 1(1 )na en ???等價(jià)于不等式 1( ) ln(1 ) n? ? ?由 111n??知， 1 .1ln(1 )ann??? 設(shè) ? ?11( ) , 0 , 1 ,ln (1 )G x xxx? ? ??則 222 2 2 21 1 ( 1 ) l n ( 1 )( ) .( 1 ) l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )x x xGx x x x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?′ 由（Ⅰ）知， 22ln (1 ) 0,1 xx x? ? ?? 即 22(1 ) ln (1 ) x x? ? ? ? 所以 ? ?( ) 0, 0,1 ,G x x??′ 于是 G(x)在 ? ?0,1 上為減函數(shù) . 故函數(shù) G（ x）在 ? ?0,1 上的最小值為 1(1) 2G ?? 所以 a 的最大值為 1 ? 2022 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 (湖南卷 ) 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40 分。下列四個命題中，正確的是 m∥ ? ,n∥ ? ,則 m∥ n m? ? ,n? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,則 ? ∥ ? ? ? ? ， m? ? ,則 m? ? ? ? ? ， m? ? ， m? ? ,則 m∥ ? f(x)=sin2x+ 3sin cosxx在區(qū)間 ,42????????上的最大值是 ? C. 32 + 3 D、 E、 F 分別是△ ABC 的三邊 BC、 CA、 AB 上的點(diǎn)，且 2,DC BD? 2,CE EA? 2,AF FB? 則 AD BE CF??與 BC 221xyab??（ a＞ 0,b＞ 0）上橫坐標(biāo)為 32a 的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則 雙曲線離心率的取值范圍是 A.(1,2) B.(2,+? ) C.(1,5) D. (5,+? ) ABCD－ A1B1C1D1 的 8 個頂點(diǎn)在同一球面上，且 AB=2, AD= 3 , AA1=1, 則頂點(diǎn) A、B 間的球面距離是 A. 2 2? B. 2? C. 22? D. 24? ［ x］表示不超過 x 的最大整數(shù)（如［ 2］ =2, ［ 54 ］ =1），對于給定的 n? N*,定義? ?? ?2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )n n n n xC x x x x? ? ?? ? ? ?， x? ? ?1,?? ,則當(dāng) x? 3,32??????時(shí)，函數(shù) 2nC 的值域是 A. 16,283?????? B. 16,563?????? C. 284,3???????? ?28,56 D. 16 284, , 2833? ? ? ??????? ? ? ? 二 、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。 ..........................④ 將 ① ， ② ， ③ 代入 ④ 得 22 3 ( 4 )( 2 )1 6 (1 )ppm p??? ?。 由上知，滿足條件得 m、 p 存在，且 63m? 或 63m?? ， 43p? 解法二 設(shè) A、 B 得坐標(biāo)分別為（ x1,y1） ,(x2,y2) 因?yàn)?AB 即過 C1 得右焦點(diǎn) F（ 1， 0），又過 C2 得焦點(diǎn) 39。 所以1 2 1 2 1 211( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )2 2 2 2ppA B x x x x p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 則 2212 223 1 2 4 1 24 ( ) 42 2 4 3 4 3kkp x x kk ?? ? ? ? ? ???。 （ II）解法一 假設(shè)存在 m、 p 的值使 C2的焦點(diǎn)恰在直線 AB 上，由 (I)知道直線 AB 的斜率存在，故可設(shè)直線 AB 的方程為 ( 1)y k x??。 圖 2OABPM(Ⅱ ) 是否存在 pm, 的值 , 使 拋物線 2C 的焦點(diǎn)恰在直線 AB 上 ? 若存在 , 求出符合條件的pm, 的值 。 8．集合 A＝｛ x| 11??xx ＜ 0＝， B＝｛ x || x b|＜ a} ，若“ a＝ 1”是“ A∩ B≠ ? ”的充分條件， 則 b 的取值范圍是 （ ） A．－ 2≤ b＜ 0 B． 0＜ b≤ 2 C．－ 3＜ b＜－ 1 D．－ 1≤ b＜ 2 9． 4 位同學(xué)參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲．乙兩道題中任選一題作答，選甲題 答對得 100 分，答錯得－ 100 分；選乙題答對得 90 分，答錯得－ 90 分 .若 4 位同學(xué)的總分為 0，則這 4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是 （ ） A． 48 B． 36 C． 24 D． 18 10．設(shè) P 是△ ABC 內(nèi)任意一點(diǎn)， S△ ABC表示△ ABC 的面積，λ 1＝ABcPBCSS?? ， λ 2＝ABCPCASS?? ， λ 3＝ABCPABSS?? ，定義 f(P)=(λ 1, λ , λ 3),若 G 是△ ABC 的重心， f(Q)＝（ 21 ， 31 ， 61 ），則 （ ） A．點(diǎn) Q 在△ GAB 內(nèi) B．點(diǎn) Q 在△ GBC 內(nèi) C．點(diǎn) Q 在△ GCA 內(nèi) D．點(diǎn) Q 與點(diǎn) G 重合 第Ⅱ卷（非選擇題） 二、 填空題：本大題共 5 小題，每小題 4 分（第 15 小題每空 2 分），共 20 分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上 . 11．一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品 16800 件，它們來自甲．乙．丙 3 條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，已知甲．乙．丙三條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了 件產(chǎn)品 . 12．在（ 1＋ x）＋（ 1＋ x） 2＋ ?? ＋（ 1＋ x） 6的展開式中， x 2項(xiàng)的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答） 13．已知直線 ax＋ by＋ c＝ 0與圓 O： x2＋ y2＝ 1相交于 A、 B兩點(diǎn)，且 |AB|＝ 3 ，則 OBOA? ＝ . 14．設(shè)函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 2）對稱，且存在反函數(shù) f－ 1(x)， f (4)＝ 0，則 f－ 1(4)＝ . 15．設(shè)函數(shù) f (x)的圖象與直線 x =a， x =b 及 x 軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù) f(x)在 [a， b]上的面積，已知函數(shù) y＝ sinnx 在 [0， n? ]上的面積為 n2 （ n∈ N*），（ i） y＝ sin3x 在 [0, 32? ]上的面積為 ；（ ii） y＝ sin（ 3x－π）＋ 1在 [3? ， 34? ]上的面積為 . 19．（本小題滿分 14 分） 已知橢圓 C：22ax ＋22by ＝ 1（ a＞ b＞ 0）的左．右焦點(diǎn)為 F F2，離心率為 e. 直線 l： y＝ ex＋ a 與 x 軸． y 軸分別交于點(diǎn) A、 B， M 是直線 l 與橢圓 C 的一個公共點(diǎn)， P 是點(diǎn) F1關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)，設(shè) AM ＝λ AB . （Ⅰ）證明：λ＝ 1－ e2； （Ⅱ）確定λ的值，使得△ PF1F2是等腰三角形 . 21．（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) f(x)＝ lnx， g(x)＝ 21 ax2＋ bx， a≠ 0. （Ⅰ）若 b＝ 2，且 h(x)＝ f(x)－ g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a 的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)函數(shù) f(x)的圖象 C1與函數(shù) g(x)圖象 C2交于點(diǎn) P、 Q，過 線段 PQ 的中點(diǎn)作 x 軸的垂線分別交 C1，C2于點(diǎn) M、 N，證明 C1在點(diǎn) M 處的切線與 C2在點(diǎn) N 處的切線不平行 . 一、選擇題： 1— 5： BACCB 6— 10： CDDBA 二、填空題： 11． 5600 12． 35 13． 21? 14．－ 2 15． 34 ， 32?? 19．（Ⅰ）證法一：因?yàn)?A、 B 分別是直線 l： aexy ?? 與 x 軸、 y 軸的交點(diǎn)，所以 A、 B 的坐標(biāo) 分別是2222222 .,1,).,0(),0,( baccbycxbyaxaexyaea ???????????????????? 這里得由 . 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)是（ abc 2,? ） . 由 ).,(),( 2 aeaabeacABAM ?? ???? 得 即 22 1 eaabeacea???????????????解得 證法二：因?yàn)?A、 B